我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+)分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证:两个正数的算术平均数不大于平方平均数已知:斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/17 13:09:24
![我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+)分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证:两个正数的算术平均数不大于平方平均数已知:斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大](/uploads/image/z/1117391-23-1.jpg?t=%E6%88%91%E4%BB%AC%E6%8A%8A%28a%2Bb%29%2F2%2C%E2%88%9A%5B%28a%5E2%2Bb%5E2%29%2F2%5D%28a%2Cb%E2%88%88R%2B%EF%BC%89%E5%88%86%E5%88%AB%E5%8F%AB%E5%81%9A%E6%AD%A3%E6%95%B0a%2Cb%E7%9A%84%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0%E5%92%8C%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0%E4%B8%8D%E5%A4%A7%E4%BA%8E%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%B9%B3%E5%9D%87%E6%95%B0%E5%B7%B2%E7%9F%A5%EF%BC%9A%E6%96%9C%E8%BE%B9%E4%B8%BA1%E7%9A%84%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2C%E6%B1%82%E8%AF%A5%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E5%86%85%E5%88%87%E5%9C%86%E5%8D%8A%E5%BE%84%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7)
我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+)分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证:两个正数的算术平均数不大于平方平均数已知:斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大
我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+)分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证:两个正数的算术平均数不大于平方平均数
已知:斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大值
我们把(a+b)/2,√[(a^2+b^2)/2](a,b∈R+)分别叫做正数a,b的算术平均数和平方平均数,求证:两个正数的算术平均数不大于平方平均数已知:斜边为1的直角三角形,求该直角三角形内切圆半径的最大
(a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]等价于
[(a+b)/2]^2≤[(a^2+b^2)/2]等价于
(a+b)^2≤2a^2+2b^2等价于
2ab≤a^2+b^2等价于(a-b)^2≥0显然成立
设2个直角边x,y,则x^2+y^2=1,面积S=xy/2≤1/4,由内切圆的定义可知,
S=(x+y+1)r/2,所以xy=r(x+y+1),x+y≥根号2,所以r=xy/(1+x+y)≤
1/[4(1+根号2)]=(根号2-1)/4
1、要证 (a+b)/2<=√[(a^2+b^2)/2]
即证 (a+b)^2/4<=(a^2+b^2)/2
即证 a^2+2ab+b^2<=2a^2+2b^2
即证 a^2-2ab+b^2>=0
即证 (a-b)^2>=0
显然成立
则两个正数的算术平均数不大于平方平均数
2、设两直角边分别为a,b
全部展开
1、要证 (a+b)/2<=√[(a^2+b^2)/2]
即证 (a+b)^2/4<=(a^2+b^2)/2
即证 a^2+2ab+b^2<=2a^2+2b^2
即证 a^2-2ab+b^2>=0
即证 (a-b)^2>=0
显然成立
则两个正数的算术平均数不大于平方平均数
2、设两直角边分别为a,b
则a^2+b^2=1
设直角三角形内切圆半径r
由面积法得 (a+b+1)*r/2=ab/2
即r=ab/(a+b+1)<=ab/(2根号ab+1)=1/[(1/根号ab+1)^2-1]
因为1=a^2+b^2>=2ab所以ab<=1/2
则(1/根号ab+1)^2-1>=(根号2+1)^2-1=2+2根号2
所以最大半径r=1/(2+2根号2)=(根号2-1)/2
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