作业帮已知：等边三角形ABC的边长等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是AB,Ac的中点,沿DE将三角形ADE折起,是AD垂直DB,连AB,AC,得如图所示的四棱锥A-BCED（1）求证：AC垂直平面ABD(2)求四棱锥A-BCED的体积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/24 18:45:00
已知：等边三角形ABC的边长等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是AB,Ac的中点,沿DE将三角形ADE折起,是AD垂直DB,连AB,AC,得如图所示的四棱锥A-BCED（1）求证：AC垂直平面ABD(2)求四棱锥A-BCED的体积
已知：等边三角形ABC的边长
等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是AB,Ac的中点,沿DE将三角形ADE折起,是AD垂直DB,连AB,AC,得如图所示的四棱锥A-BCED
（1）求证：AC垂直平面ABD
(2)求四棱锥A-BCED的体积
已知：等边三角形ABC的边长等边三角形ABC的边长为2,D,E分别是AB,Ac的中点,沿DE将三角形ADE折起,是AD垂直DB,连AB,AC,得如图所示的四棱锥A-BCED（1）求证：AC垂直平面ABD(2)求四棱锥A-BCED的体积
1证明：
连接CD,BE交于O
∵C,D是等边三角形ABC的中点
∴DE||BC
∴CD⊥DB,BE⊥CE
沿DE将（等边）三角形ADE折起
∵AD⊥DB,
由于对称性
∴AE⊥EC
∴DB⊥面ADC
∴BD⊥AC.1式
等边三角形边长=2
∴AD=DB=1
同理AE=EC=1
∴△ADB和△AEC是等腰直角三角形
∴AB=AC=√2
∵AB²+AC²=BC²=4
∴AB⊥AC.2式
由1,2式,得
AC⊥面ABD
2.
连接AO
O是平面时等边△ABC的三边中线交点即重心
DO：OC=1:2
∵DB⊥面ADC
∴DB⊥AO
同理EC⊥面ABE
∴EC⊥AO
∵DB,EC在平面内是相交直线
∴AO⊥面DBCE
∴四棱锥A-BCED的体积=1/3AO*SBCED
Rt△ADC中（右图）
DC=√3
∵DO：OC=1:2
∴DO=√3/3,OC=2√3/3
∵AO²=DO*OC（射影定理)
∴AO=√6/3
S等腰梯形BCED=S等边△ABC（平面时）-S等边△ADE=√3-√3/4=3√3/4
四棱锥A-BCED的体积=1/3AO*SBCED
=1/3*√6/3*3√3/4
=√2/4
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