已知函数f(x)=(a^x+1)/(a^x-1),(a＞0,且a≠1）求函数奇偶性

已知函数f(x)=(a^x+1)/(a^x-1),(a＞0,且a≠1）求函数奇偶性
已知函数f(x)=(a^x+1)/(a^x-1),(a＞0,且a≠1）求函数奇偶性

已知函数f(x)=(a^x+1)/(a^x-1),(a＞0,且a≠1）求函数奇偶性

这是判断函数奇偶性的题目，下面开始解答

已知函数f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)(a>0,且a≠1,). 

(1)求f(x)的值域 
(2)判断f(x)的奇偶性 
(3)讨论f(x)的单调性
解 (1)求f(x)的值域.
因为0<a^x<+∞,所以
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)>1-2/(0+1)=-1,
f(x)=(a^x-1)/(a^x+1)=1-2/(a^x+1)<1,
因此,f(x)的值域为(-1,1).

(2)判断f(x)的奇偶性.
因为函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且
f(-x)=(a^(-x)-1)/(a^(-x)+1)=(1-a^x)/(1+a^x)
=-(a^x-1)/(a^x+1)=-f(x),
所以,f(x)是奇函数.

(3)讨论f(x)的单调性.
(i)当a>1时
设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1<a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)
=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]>0,
所以,f(x)在(0,+∞)内单调递减.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递减.
因此,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.
(ii)当0<a<1时
设x1,x2是(0,+∞)内的任意两点,且x1<x2,则a^x1>a^x2,于是
f(x1)-f(x2)=(1-a^x1)/(1+a^x1)-(1-a^x2)/(1+a^x2)
=[(1-a^x1)(1+a^x2)-(1-a^x2)(1+a^x1)]/[(1+a^x1)(1+a^x2)]
=2(a^x2-a^x1)/[(1+a^x1)(1+a^x2)]<0,
所以,f(x)在(0,+∞)内单调递增.
由(2)知,f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)内也单调递增.
因此,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增.
综上所述,当0<a<1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增,当a>1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递减.

我看你对函数奇偶性不懂，我们复习下

1函数奇偶性：奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。

2定义：一般地，对于函数f(x)

⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。

⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。

⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称

特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。

说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。

（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x³【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称）

⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0

注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数

3特征

概述：偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数。

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数。

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点（x，y）→（-x，-y）

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

奇函数定理 奇函数的图象关于原点成中心对称图形

f(x）为奇函数<=>f(x）的图象关于原点对称，如图：

奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

点（x,y）→（-x,-y）

奇函数图像关于原点对称

偶函数定理 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形

f(x）为偶函数<=>f(x）的图象关于Y轴对称，如图

点（x,y）→（-x,y）

偶函数在某一区间上单调递减，则在它的对称区间上单调递增。

偶函数关于Y轴对称

4证明方法：

⑴定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相同

⑵图像法：f(x）为奇函数<=>f(x）的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） f(x）为偶函数<=>f(x）的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）

⑶特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。

⑷性质法：利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和（差）是奇函数；两个偶函数的和（差）是偶函数；奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数的积（商）为偶函数；奇函数与偶函数的积（商）是奇函数。

性质：

1、大部分偶函数没有反函数（因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数），一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致。

2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（两函数定义域要关于原点对称）.

4、对于F（x）=f[g(x)]：若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数.

若g(x）奇函数且f(x）是奇函数，则F（x）是奇函数.

若g(x）奇函数且f(x）是偶函数，则F（x）是偶函数.

5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称.

5要点诠释：

[1]奇偶性是整体性质；

[2]x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

[3]f(-x)=f(x)的等价形式为：f(x)-f(-x)=0，

（f（x）≠0）

f(-x)=-f(x)的等价形式为：f(x)+f(-x)=0；

（f（x）≠0）

[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

[5]若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.

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