21(a²＋b²+c²)=(a+2b+4c)²求a:b:c求a²+6ab+10b²+4a+10b+15的最小值

21(a²＋b²+c²)=(a+2b+4c)²求a:b:c求a²+6ab+10b²+4a+10b+15的最小值
21(a²＋b²+c²)=(a+2b+4c)²
求a:b:c
求a²+6ab+10b²+4a+10b+15的最小值

21(a²＋b²+c²)=(a+2b+4c)²求a:b:c求a²+6ab+10b²+4a+10b+15的最小值
a²+6ab+10b²+4a+10b+15
=a^2+2a(3b+2)+(3b+2)^2+b^2-2b+11
=(a+3b+2)^2+(b-1)^2+10
>=10
所以最小值为10

因为21（a^2+b^2+c^2)=(a+2b+4c)^2
所以21a^2+21b^2+21c^2=a^2+4ab+4b^2+8ac+16bc+16c^2
所以21a^2+21b^2+21c^2-a^2-4ab-4b^2-8ac-16bc-16c^2=0
所以20a^2+17b^2+5c^2-4ab-8ac-16bc=0
...

全部展开

因为21（a^2+b^2+c^2)=(a+2b+4c)^2
所以21a^2+21b^2+21c^2=a^2+4ab+4b^2+8ac+16bc+16c^2
所以21a^2+21b^2+21c^2-a^2-4ab-4b^2-8ac-16bc-16c^2=0
所以20a^2+17b^2+5c^2-4ab-8ac-16bc=0
所以4a^2-4ab+b^2+16a^2-8ac+c^2+16b^2-16bc+4c^2=0
所以（2a-b)^2+(4a-c)^2+(4b-2c)^2=0
所以2a-b=0,4a-c=0,4b-2c=0
所以2a=b,c=4a,c=2b
所以a:b:c=1:2:4

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