作业帮已知X,Y都是正数,且满足X+2Y+XY=30,求XY的最大值,并求出此时X,Y的值.用均植不等式,如何体现”定”的思想我不是问如何做,是问如何体现"定"的思想,就是和一定,积有最大值;积一定,和有最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 15:02:55
已知X,Y都是正数,且满足X+2Y+XY=30,求XY的最大值,并求出此时X,Y的值.用均植不等式,如何体现”定”的思想我不是问如何做,是问如何体现"定"的思想,就是和一定,积有最大值;积一定,和有最小值
已知X,Y都是正数,且满足X+2Y+XY=30,求XY的最大值,并求出此时X,Y的值.用均植不等式,如何体现”定”的思想
我不是问如何做,是问如何体现"定"的思想,就是和一定,积有最大值;积一定,和有最小值
已知X,Y都是正数,且满足X+2Y+XY=30,求XY的最大值,并求出此时X,Y的值.用均植不等式,如何体现”定”的思想我不是问如何做,是问如何体现"定"的思想,就是和一定,积有最大值;积一定,和有最小值
x+2y>=2根号(2xy),当x=2y时取等号
所以有30=x+2y+xy>=2根号(2xy)+xy
换元,令t=根号(xy)>=0,则xy=t²
t²+2(根号2)t-30
由均植不等式得
x+2y>=2(2xy)^0.5
所以xy+2(2xy)^0.5<=30
所以XY<=30/(1+2*2^0.5)
X+2Y+XY=30大于等于2根号2XY。
记根号2XY=A，则0.5A^2+2A-30小于等于0，解得
6小于等于A小于等于10.最大值为10，当且仅当x=2y时等号成立，此时x=2根号5，y=根号5
换元：
t=xy
y=t/x
x+2t/x+t=30
x^2+2t+tx=30x
^2表示平方。
(2+x)t=30x-x^2
t=[(-x^2)+30x]/(2+x)
设s=2+x,则s>2
x=s-2
t=[-(s-2)^2+30(s-2)]/s
=[-s^2-4+4s+30s-60]...
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换元：
t=xy
y=t/x
x+2t/x+t=30
x^2+2t+tx=30x
^2表示平方。
(2+x)t=30x-x^2
t=[(-x^2)+30x]/(2+x)
设s=2+x,则s>2
x=s-2
t=[-(s-2)^2+30(s-2)]/s
=[-s^2-4+4s+30s-60]/s
=[-s^2+34s-64]/s
=-s+34-64/s
=34-（s+64/s)
<=34-2√(s*64/s)
=34-2*8
=34-16
=18
s=64/s
s=8,因为s>2,所以-8舍掉
此时x=s-2=6
t=18
y=t/x=3
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