已知函数f(x)=ax³bx²cx+d且函数f(x)的图像关于原点对称,其图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0①求f(x)的解析式②是否存在区间[m,n],使得g(x)的定义域和值域均为[m,n],且其解析式为f(x)的解析

已知函数f(x)=ax³bx²cx+d且函数f(x)的图像关于原点对称,其图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0①求f(x)的解析式②是否存在区间[m,n],使得g(x)的定义域和值域均为[m,n],且其解析式为f(x)的解析
已知函数f(x)=ax³bx²cx+d且函数f(x)的图像关于原点对称,其图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0
①求f(x)的解析式
②是否存在区间[m,n],使得g(x)的定义域和值域均为[m,n],且其解析式为f(x)的解析式?若存在,求出这样一个区间,若不存在说明理由

已知函数f(x)=ax³bx²cx+d且函数f(x)的图像关于原点对称,其图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0①求f(x)的解析式②是否存在区间[m,n],使得g(x)的定义域和值域均为[m,n],且其解析式为f(x)的解析
已知函数f(x)=a*x^3+b*x^2+c*x+d且函数f(x)的图像关于原点对称,其图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0 .
（1）求f(x)的解析式.
（2）是否存在区间[m, n],使得g(x)的定义域和值域均为[m, n],且其解析式为f(x)的解析式?若存在,求出这样一个区间,若不存在说明理由.
    （1）因为函数f(x)的图像关于原点对称,故f(-x)=-f(x)对∀x∈R成立,所以偶次项系数为0,即b=d=0.（也可把f(-x)、-f(x)的表达式代入f(-x)=-f(x),根据多项式恒等原理,x的各次项系数对应相等,即得b=d=0）.
故f(x)=a*x^3+c*x,f'(x)=3a*x^2+c.
        因为函数图象在x=3处的切线的方程为8x-y-18=0,该方程中令x=3得,y=6,即切点为(3, 6),即f(3)=6,
        所以：3a*3^3+c*3=6,       ………………①
        切线的斜率为8,即f'(3)=8,
        所以,3a*3^2+c=8,           ………………②
        ①、②联立解得：a = 1/3, c = -1.
所以：f(x)=1/3*x^3-x.
    （2）令f(x)=x,得1/3*x^3-x=x,1/3*x^3-2x=0,1/3*x(x^2-6)=0,
    (x+√6)*x*(x-√6)=0,所以x=0或±√6.
    取m=-√6, n=√6,在同一坐标系下分别作出y1=f(x),y2=x的大致图像,从图像很容易看出,在区间[-√6, √6]上,f(x)的取值范围恰为[-√6, √6].
    故这样的区间[m, n]是存在的,[-√6, √6]即为其中一个.
    
    （如果不借助于图像,可以算出函数g(x)=1/3*x^3-x,x∈[-√6, √6]的值域——除了需算出两个端点值外,还需算出两个极值,于是可得值域,恰为[-√6, √6]）.
    [m, n]的取法并不唯一.至少还有两种情况.
    令f'(x)=0得,两个驻点分别为x=±1.
    f''(x)=2x,故x=-1时,f''(-1)<0,f(x)取得极大值f(-1)=2/3；x=1时,f''(1)>0,f(x)取得极小值f(1)=-2/3.
    故区间[-√6, 2/3]与区间[-2/3, √6]也是满足条件的区间.