在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A+C≤2B,求证(1)a+c≤2b （2）a2+c2≤2b2（3）a4+c4≤2b4

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 04:18:04
在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A+C≤2B,求证(1)a+c≤2b （2）a2+c2≤2b2（3）a4+c4≤2b4

在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A+C≤2B,求证(1)a+c≤2b （2）a2+c2≤2b2（3）a4+c4≤2b4
在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A+C≤2B,求证(1)a+c≤2b （2）a2+c2≤2b2（3）a4+c4≤2b4

在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A+C≤2B,求证(1)a+c≤2b （2）a2+c2≤2b2（3）a4+c4≤2b4
这里条件A+C<=2B,等价于B>=60,而给定a,c,当B=60的时候如果成立,当B>60的时候也成立
也就是说只需要证明B=60的时候即可
令三个证明中1）可以推出2）,2）可以推出3）
方法如下：若a+c<=2b,则(a+c)^2<=4b^2,只需证b^2>=ac即可
即只需证明b/a>=c/b
等价于证明sinB/sinA>=sinC/sinB
注意到B=60,所以只需证明4sinAsinC<=3即可,其中A+C=120
由积化和差公式4sinAsinC=2[cos(A-C)-cos(A+C)]=2cos(A-C)+1<=3
等号成立当且仅当A=C
由b^2>=ac,同样可以由2）推出3）
下面证明1）
由余弦定理,(a^2+c^2-b^2)/2ac=cosB=1/2
得到a^2+c^2-b^2=ac,
所以有(a+c)^2=b^2+3ac<=4b^2,这里用到已经证明的b^2>=ac
即得a+c<=2b,等号成立当且仅当A=B=C

在三角形ABC中角A.B.C所对的边分别为a.b.c ,若c/b 在三角形ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,当 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a 在三角形abc中,a,b,c 分别为三个角的a,b,c的对边,π/3 在三角形ABC中.abc分别也角ABC的对边.且a+c除以a+b等于b-a除以c.求角B的大小 在三角形ABC中,已知角C=60,a,b,c,分别为角A,B,C,的对边,求a/b+c +b/a+c 在三角形ABC中,abc分别为内角ABC的对边,且1/(a+b)+1/(a+c)=3/(a+b+c),求角A大小, 在三角形abc中 角a b c的对边分别为abc,若a2+b2-c2 在三角形abc中 角a b c的对边分别为abc a=6 ,c=5 B=60度 此三角形有几解 在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知c=2,c=派/3,且三角形在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知c=2,c=派/3,且三角形ABC的面积等于根3,求a与b的值. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,若a*cosA=b*cosB,则三角形ABC的形状是什么? 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c证明(a^2+b^2)/c^2=sin(A-B)/sinC 在三角形ABC中,角A.B.C的对边分别为a,b,c求证c*2/a*2+b*2=sinC/sin(A-B) 在三角形ABC中,角ABC的对边分别为abc.且abc成等比数列若a+c=根号3,B=60度求abc 在三角形ABC中,角ABC所对的边分别为abc,若B＝120º,b＝根号13,a＋c等于4,求三角形ABC的面积在三角形ABC中,角ABC所对的边分别为abc,若B＝120º,b＝根号13,a＋c等于4,求三角形ABC的面积 在三角形abc中abc分别为角A,B,C 的对边,而且b的平方＝a×c,则B的取值范围 在三角形ABC中,a.b.c分别为角A,B,C的对边,且a,b,c为等比数列,求角B的范围? 在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=2B,则c/b为