对于任意正整数n,求证：ln(1/2+1/n)>1/n^2-2/n-1

对于任意正整数n,求证：ln(1/2+1/n)>1/n^2-2/n-1
对于任意正整数n,求证：ln(1/2+1/n)>1/n^2-2/n-1

对于任意正整数n,求证：ln(1/2+1/n)>1/n^2-2/n-1
证明：令f(x)=ln(1/2+1/x)-(1/x²-2/x-1),
则f'(x)=1/(1/2+1/x)-(-2/x³+2/x²)
=(x^4-x+1)/[x³(x+2)]
令分子部分为g(x)=x^4-x+1,则g'(x)=4x³-1
∵n∈N+,取x≥1,则g'(x)≥4-1=3＞0
∴g(x)在[1,+∞)上为增函数.
故g(x)≥g(1)=1-1+1=1＞0
∴f'(x)＞0恒成立,f(x)在[1,+∞)上为增函数.
所以,当x∈N+时,f(x)≥f(1)=ln3/2 -1+2+1=2+ln3/2＞0
即ln(1/2+1/x)-(1/x²-2/x-1)＞0恒成立,
所以,ln(1/2+1/x)＞(1/x²-2/x-1),即ln(1/2+1/n)>1/n^2-2/n-1.
{用导数正,反过来倒回去很罗嗦,关键就是利用增减性,证明导数大于零就行}