作业帮（x+1）（x+2）（x+3）.（x+19）（x+20）展开式的X的18次方的系数!超级
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 18:09:46
（x+1）（x+2）（x+3）.（x+19）（x+20）展开式的X的18次方的系数!超级
（x+1）（x+2）（x+3）.（x+19）（x+20）展开式的X的18次方的系数!超级
（x+1）（x+2）（x+3）.（x+19）（x+20）展开式的X的18次方的系数!超级
一共 20 个因式,18次的话,有两个是与常数 相乘,比若,前18个都是X的乘积,最后系数就是19*20,仔细分析一下吧,不是特别难的,答案可能是:20的数字,任意两个乘积的和:
1*2+1*3+1*4+...+1*20
+2*3+2*4+2*5+.+2*20
+3*4+3*5+3*6.+3*20
+.
+19*20
楼主可以用类比实验一下,比如,题目改成（x+1）（x+2）（x+3）求一次项的系数,他的一次系数就是:11=1*2++1*3+2*3
再补充一下求和的问题,这是容易的,因为可以变成19个等差数列求和:
=(2+3+4+...+20)×1
＋2×（3＋4＋5＋...＋20）
+3*(4+5+6+..20)
+...
+19*20
=最后的结果楼主自己算把,
解:由（x+1）（x+2）（x+3）.......（x+19）（x+20）有20个x,
故展开式的X的18次方的系数只要在20项中取18个x,另两项中取常数项.
故系数为
20*1+20*2+...+20*19+19*1+19*2+...+19*1+...+2*1
=20*(1+2+...+19)+19*(1+2+...+18)+...+2*1
=20*20...
全部展开
解:由（x+1）（x+2）（x+3）.......（x+19）（x+20）有20个x,
故展开式的X的18次方的系数只要在20项中取18个x,另两项中取常数项.
故系数为
20*1+20*2+...+20*19+19*1+19*2+...+19*1+...+2*1
=20*(1+2+...+19)+19*(1+2+...+18)+...+2*1
=20*20*19/2+19*19*18/2+...+2*2*1/2
=20*20*(20-1)/2+19*19*(19-1)/2+...+2*2*(2-1)/2
=[20^3-20^2+19^3-19^2+...+2^3-2^2+(1^3-1^2)]/2
=[20^3+19^3+...+1^3]/2-[20^2+19^2+...+1^2]/2
=[(1+2+...+20)^2-(20^2+19^2+...+1^2)]/2
=[(20*21/2)^2-20*20*41/6]/2
=44100-2870
=20615
收起