如图,已知AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系.

如图,已知AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系.
如图,已知AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系.

如图,已知AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系.
相等
∵AF平分∠BAC,BC⊥AF
∴AB=AC
∴MB=MC
∵点D与点A关于点E对称
∴DE=AE
∴DC=AC
∠AMC=∠AMB=∠PMF
∠PMF+∠F=∠MPC=∠CAD=∠CDA=∠AMC+∠MCD
∴∠F=∠MCD
写得简单点,自己理会吧

（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=1/2∠BAC．
∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．
∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．
∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB． 注...

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（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB=1/2∠BAC．
∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．
∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．
∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB． 注：证全等也可得到AC=AB
∴AB=CD．
（2）∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．
∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA， ∴∠MPC=∠CDA．
∴∠MPF=∠CDM．
∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE． 注：证全等也可得到CE=BE
∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM． 注：证全等也可得到CM=BM
∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）
∴∠CME=∠BME． 注：证全等也可得到∠CME=∠BME
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F（三角形内角和）． 注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F

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证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB= ∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC=CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，
∴∠ACE=∠ABE，

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证明：（1）∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD=∠DAB= ∠BAC，
∵D与A关于E对称，
∴E为AD中点，
∵BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC=CD．
在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD）
∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB，
∴∠ACE=∠ABE，
∴AC=AB（注：证全等也可得到AC=AB），
∴AB=CD．
（2）∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合-）．
∴∠CME=∠BME（注：证全等也可得到∠CME=∠BME．），
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F）

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角平分线和高不能直接证出等腰三角形
要先证△ABE=△DCE
CE=BE
AF垂直平分BC
MB=MC

∠F=∠MCD，
理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，
∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，
在△ACE和△ABE中
∵∠AEC=∠AEBAE=AE∠CAE=∠BAE​，
∴△ACE≌△ABE（ASA）
∴AB=AC，
∵∠CAE=∠CDE
∴AM是BC的垂直平分线，
∴CM=BM，CE=BE，<...

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∠F=∠MCD，
理由是：∵AF平分∠BAC，BC⊥AF，
∴∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AEB=90°，
在△ACE和△ABE中
∵∠AEC=∠AEBAE=AE∠CAE=∠BAE​，
∴△ACE≌△ABE（ASA）
∴AB=AC，
∵∠CAE=∠CDE
∴AM是BC的垂直平分线，
∴CM=BM，CE=BE，
∴∠CMA=∠BMA，
∵AE=ED，CE⊥AD，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等），
∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°，∠F+∠MPF+∠PMF=180°，
又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，
∴∠MCD=∠F．

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相等
∵AF平分∠BAC，BC⊥AF
∴AB=AC
∴MB=MC
∵点D与点A关于点E对称
∴DE=AE
∴DC=AC
∠AMC=∠AMB=∠PMF
∠PMF+∠F=∠MPC=∠CAD=∠CDA=∠AMC+∠MCD
∴∠F=∠MCD
写得简单点，自己理会吧

：∠F=∠MCD，理由如下：
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．（...

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：∠F=∠MCD，理由如下：
∵∠BAC=2∠MPC，
又∵∠BAC=2∠CAD，
∴∠MPC=∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠MPC=∠CDA，
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC=AB，AE⊥BC，
∴CE=BE（注：证全等也可得到CE=BE），
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM．（注：证全等也可得到CM=BM）
∵EM⊥BC，
∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合一）．
∴∠CME=∠BME（注：证全等也可得到∠CME=∠BME．），
∵∠BME=∠PMF，
∴∠PMF=∠CME，
∴∠MCD=∠F．（注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F）

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