在平行四边形ABCD中,对角线AC BD交于点O,若角BOC=120,AD=7,BD=10,求平行四边形ABCD的面积.不用余弦定理,只用平行四边形的性质和判定

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 22:55:40

在平行四边形ABCD中,对角线AC BD交于点O,若角BOC=120,AD=7,BD=10,求平行四边形ABCD的面积.不用余弦定理,只用平行四边形的性质和判定
在平行四边形ABCD中,对角线AC BD交于点O,若角BOC=120,AD=7,BD=10,求平行四边形ABCD的面积.
不用余弦定理,只用平行四边形的性质和判定

在平行四边形ABCD中,对角线AC BD交于点O,若角BOC=120,AD=7,BD=10,求平行四边形ABCD的面积.不用余弦定理,只用平行四边形的性质和判定
过A作BD的垂线交于点p,角BOC=120,角BOA=60,角OAP=30
设op为x,AP=2x
（X+5）平方+2x平方=7平方
x求出来就是高
BD×高×2就是面积

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在平行四边形ABCD中，对角线AC BD交于点O，若角BOC=120°，AD=7，BD=10，求平行四边形ABCD的面积。(不用余弦定理，只用平行四边形的性质和判定)
因为没有图，故需要把图形明确一下：AD是上底，BC是下底，AD∥BC,，把∠A画成钝角。
过B作BE⊥DA，E是垂足(按上面的图形，E在DA的延长线上)；过O作OF⊥AD，F是垂足。
设∠ODA=α，∵∠BOC=∠AOD=120°，∴∠OAD=60°-α；
在△AOD中使用正弦定理，得OA=(7/sin120°)sinα=(14/√3)sinα，于是得等式：
OF=OAsin(60°-α)=ODsinα，即有[(14/√3)sinα]sin(60°-α)=5sinα，化简得:
sin(60°-α)=5/(14/√3)=5(√3)/14，故60°-α=arcsin[5(√3)/14]，∴α=60°-arcsin[5(√3)/14]。
于是BE=BDsinα=10sin{60°-arcsin[5(√3)/14]}
=10{sin60°cos[arcsin[5(√3)/14]-cos60°sin[arcsin[5(√3)/14]}
=10{(√3/2)√(1-75/196)-(1/2)[5(√3)/14]}
=10[(√3/2)(11/14)-5√3)/28]=60(√3)/28=15(√3)/7
∴平行四边形ABCD的面积S=AD×BE=7×15(√3)/7=15√3。

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