作业帮已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使得l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过圆点.若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 04:48:39
已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使得l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过圆点.若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。
已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使得l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过圆点.
若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。
已知圆C：x^2+y^2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线l,使得l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过圆点.若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。
假设存在
直线y=x+b
代入
2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0
x1+x2=-(b+1)=-b-1
x1x2=(b²+4b-4)/2
y=x+b
y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b²=(b²+2b-4)/2
AB是直径,O在圆上
所以OA垂直OB
OA斜率y1/x1,OB是y2/x2
所以(y1/x1)(y2/x2)=-1
y1y2=-x1x2
(b²+2b-4)/2=-(b²+4b-4)/2
b²+3b-4=0
b=-4,b=1
所以是x-y-4=0和x-y+1=0
已知圆C：x^+y^-2x+4y-4=0, 是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？
设L方程为：y=x+t，与圆C方程联立：
--->x^+(x+t)^-2x+4(x+t)-4=0--->2x^+(2t+2)x+(t^+4t-4)=0
--->xA+xB=-(t+1), xAxB=(t^+4t-4)/2
--->yAyB=(xA+...
全部展开
已知圆C：x^+y^-2x+4y-4=0, 是否存在斜率为1的直线L,使L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？
设L方程为：y=x+t，与圆C方程联立：
--->x^+(x+t)^-2x+4(x+t)-4=0--->2x^+(2t+2)x+(t^+4t-4)=0
--->xA+xB=-(t+1), xAxB=(t^+4t-4)/2
--->yAyB=(xA+t)(xB+t)=xAxB+t(xA+xB)+t^
AB是直径--->OA⊥OB--->k(OA)k(OB)=(yA/xA)(yB/xB)=-1--->yAyB+xAxB=0
--->2xAxB+t(xA+xB)+t^=0
--->(t^+4t-4)-t(t+1)+t^=t^+3t-4=(t-1)(t+4)=0--->t=1或t=-4
即：存在这样的直线L:y=x+1或y=x-4
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