高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 17:46:33

高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx
高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx

高数题 ∫((√1+x)-1)/((√1+x)+1)dx
z² = 1 + x,2z dz = dx
∫ [√(1 + x) - 1]/[√(1 + x) + 1] dx
= ∫ (z - 1)/(z + 1) * (2z dz)
= 2∫ z[(z + 1) - 2]/(z + 1) dz
= 2∫ z dz - 4∫ [(z + 1) - 1]/(z + 1) dz
= z² - 4∫ dz + 4∫ dz/(z + 1)
= z² - 4z + 4ln|z + 1| + C'
= 1 + x - 4√(1 + x) + 4l1 + √(1 + x)| + C'
= x - 4√(1 + x) + 4ln|1 + √(1 + x)| + C

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∫｛［√（1＋x）－1］/［√（1＋x）＋1］｝dx
＝∫｛［√（1＋x）－1］^2/［（1＋x）－1］｝dx
＝∫｛［1＋x－2√（1＋x）＋1］/x｝dx
＝2∫（1/x）dx＋∫xdx－2∫［√（1＋x）/x］dx
＝2ln｜x｜＋（1/2）x^2－2∫［√（1＋x）/x］dx。
令√（1＋x）＝u，则：x＝u^2－1，∴dx＝2udu。
∴∫［√（1＋x）/x］dx
＝∫［u/（u^2－1）］（2u）du
＝2∫［（u^2－1＋1）/（u^2－1）］du
＝2∫du＋2∫［1/（u^2－1）］du
＝2u＋∫［（u＋1－u＋1）/（u^2－1）］du
＝2√（1＋x）＋∫［1/（u－1）］du－∫［1/（u＋1）］du
＝2√（1＋x）＋ln｜u－1｜－ln｜u＋1｜＋C
＝2√（1＋x）＋ln｜√（1＋x）－1｜－ln｜√（1＋x）＋1｜＋C。
∴∫｛［√（1＋x）－1］/［√（1＋x）＋1］｝dx
＝2ln｜x｜＋（1/2）x^2－2［2√（1＋x）＋ln｜√（1＋x）－1｜－ln｜√（1＋x）＋1｜＋C］
＝2ln｜x｜＋（1/2）x^2－4√（1＋x）＋2ln｜√（1＋x）－1｜－2ln｜√（1＋x）＋1｜＋C。

收起

|X+1|-√X ∫arctanx√x/√x(x+1)dx ∫(arctan√x)/[√x*(1+x)]dx 求不定积分∫√(x/1-x√x)dx ∫1/(X√(X^2-1))为什么X ∫1/[(√X)(1+X)]dx 积分∫e^x(2x+1)/2√x ∫dx/(x√x^2+x+1) ∫1/(x(√x+x^(2/5)))dx ∫dx/x+√(1-x²) ∫1/√x*(4-x)dx ∫dx/[x√(1-x^4)] 不定积分：∫√(x+1)/x)dx ∫(1-x)^2/√x ∫dx/x(1+√x) ∫x√（1+x）dx ∫x√(1+2x)dx (e^x-√(x+1))/x x趋近于零