已知函数f (x )满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)（x,y属于R）,则f(2010)=?∵f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)∴构造符合题意的函数f(x)=1/2*cos(x*π/3)∴f（2010）=1/2cos（2010*π/3）=1/2试问：是如何构造出函数f(x)=1/

已知函数f (x )满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)（x,y属于R）,则f(2010)=?∵f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)∴构造符合题意的函数f(x)=1/2*cos(x*π/3)∴f（2010）=1/2cos（2010*π/3）=1/2试问：是如何构造出函数f(x)=1/
已知函数f (x )满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)（x,y属于R）,则f(2010)=?
∵f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
∴构造符合题意的函数f(x)=1/2*cos(x*π/3)
∴f（2010）=1/2cos（2010*π/3）=1/2
试问：是如何构造出函数f(x)=1/2*cos(x*π/3)的？

已知函数f (x )满足f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)（x,y属于R）,则f(2010)=?∵f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)∴构造符合题意的函数f(x)=1/2*cos(x*π/3)∴f（2010）=1/2cos（2010*π/3）=1/2试问：是如何构造出函数f(x)=1/
我觉得是根据积化和差公式想到的,其实这种题需要自己多做题而且能够灵活应用公式,才能构造出函数,这是常做题会形成的解题思维,答案不仅限于非要构造出函数,而是发散思维便于快速解题,才能领先于他人.

2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),显然这是和差化积公式的函数模型。cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb.
4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),f(1)=1/4,所以构造f(x)=1/2*cos(x*π/3)，不过这个比较难想，可以根据4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)，令y=1，得1式：f(x)=f(x+1)+f(x-1)， f(x...

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2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),显然这是和差化积公式的函数模型。cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb.
4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),f(1)=1/4,所以构造f(x)=1/2*cos(x*π/3)，不过这个比较难想，可以根据4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)，令y=1，得1式：f(x)=f(x+1)+f(x-1)， f(x+1)=f(x)-f(x-1)，2式：f(x)=f(x-1)-f(x-2)，又1式2式，得3式:f(x+1)+f(x-1)=f(x-1) -f(x-2)，所以f(x+1)= -f(x-2)。有原始4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)，特指代换推出是偶函数，（所以y=f(x)的周期为6，则f(2010)=f(0)=1/2

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这种东西是出题人故意设计出来的，没有人能够想到。唯一方法就是做题够多，你就会了

f(1)=1/4
取x=1,y=0,则4f(1)f(0) = 2f(1), f(0) = 1/2
4f(x)f(x) = f(2x)+f(0)
[2f(x)]² = f(2x) + 1/2
2f(2x) = [2f(x)]² - 1
则2f(x) = cos(kx)符合上述公式
f(x) = cos(kx)/2
令x=0...

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f(1)=1/4
取x=1,y=0,则4f(1)f(0) = 2f(1), f(0) = 1/2
4f(x)f(x) = f(2x)+f(0)
[2f(x)]² = f(2x) + 1/2
2f(2x) = [2f(x)]² - 1
则2f(x) = cos(kx)符合上述公式
f(x) = cos(kx)/2
令x=0, 1,可得
cos(0)/2=1/2符合f(0)=1/2
cos(k)/2 = 1/4 => k= π/3
即f(x) = 1/2*cos(x*π/3)符合题意
但如果作为大题，这个方法不合适

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当x=1 y=0时 4f(1)f(0)=f(1+0)+f(1-0)=2f（1） 所以f（0）=1/2 由此类推 当x=0，1，2，3...时 观察知 相应的点都在函数f(x)=1/2*cos(x*π/3) 所以.......