设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图像与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0,若函数在x=2处取得极值-16.试求函数的解析式,并确定函数的单调区间

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图像与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0,若函数在x=2处取得极值-16.试求函数的解析式,并确定函数的单调区间
设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图像与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0,若函数在x=2处取得极值-16.试求函数的解析式,并确定函数的单调区间

设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图像与y轴的交点为P,且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0,若函数在x=2处取得极值-16.试求函数的解析式,并确定函数的单调区间
f（x）=ax³+bx²+cx+d,P（0,d）
f′（x）=3ax²+2bx+c,

切线为y=-24x+12过P（0,d）,所以d=12,在P处切线斜率为f′（0）=c=-24
所以f（x）=ax³+bx²-24x+12,f′（x）=3ax²+2bx-24

函数在x=2处取得极值,
即x=2时,f′（x）=3ax²+2bx-24=0,
即f′（2）=12a+4b-24=0,
即12a+4b=24①

函数在x=2处取得极值-16,
即f（2）=8a+4b-48+12=-16
即8a+4b=20②
解由①②组成的方程组,得
a=1
b=3

所以f（x）=x³+3x²-24x+12,f′（x）=3x²+6x-24

f′（x）=3x²+6x-24=3（x²+2x-8）=3(x+4)(x-2),所以
当x<-4时,f′(x)>0,即在(-∞,-4]上f(x)是增函数；
当-4当x>2时,f′(x)>0,即在[2,+∞)上f(x)是增函数.