函数f（x）在开区间（a b）内可导,f'(x)在（a b）内单调,求证：f'(x)在（a b）内连续

函数f（x）在开区间（a b）内可导,f'(x)在（a b）内单调,求证：f'(x)在（a b）内连续
函数f（x）在开区间（a b）内可导,f'(x)在（a b）内单调,求证：f'(x)在（a b）内连续

函数f（x）在开区间（a b）内可导,f'(x)在（a b）内单调,求证：f'(x)在（a b）内连续
这是1986年武汉大学硕士生入学试题.
为确定,设f′（x）单调增加.任取c∈（a,b）.
f′（c）＝lim（h→0-）｛[f（c+h）-f（c）]/h｝.
从Lagrange定理：存在ξ∈（c+h,c）.f（c+h）-f（c）＝f′（ξ）h,
（此时h＜0,ξ＜c.“h→0-”→“ξ→c-”）
ξ→c-时,f′（ξ）单调增加,有上界f′（c）.从而lim（ξ→c-）f′（ξ）存
在.f′（c）＝lim（h→0-）｛[f（c+h）-f（c）]/h｝
＝lim（ξ→c-）f′（ξ）.得到f′（x）在c左连续.
同理,f′（x）在c右连续.∴f′（x）在c连续.
c任意,f′（x）在（a,b）连续.
（严格说：lim（x→c-）f′（x）存在,而子列lim（ξ→c-）f′（ξ）
＝f′（c）.∴lim（x→c-）f′（x）＝f′（c）.才有在c的左连续）