作业帮讨论以下函数在x=0处的连续性x>0时,f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)x0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)x≤0时，f(x)=e^(-1/2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 18:49:15
![讨论以下函数在x=0处的连续性x>0时,f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)x0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)x≤0时，f(x)=e^(-1/2)](/uploads/image/z/9772907-59-7.jpg?t=%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E4%BB%A5%E4%B8%8B%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9C%A8x%3D0%E5%A4%84%E7%9A%84%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E6%80%A7x%3E0%E6%97%B6%2Cf%28x%29%3D%7B%5B1%2B%281%2Fx%29%5D%5E%281%2Fx%29%2Fe%7D%5E%281%2Fx%29x0%E6%97%B6%EF%BC%8Cf%28x%29%3D%7B%5B1%2Bx%5D%5E%281%2Fx%29%2Fe%7D%5E%281%2Fx%29x%E2%89%A40%E6%97%B6%EF%BC%8Cf%28x%29%3De%5E%28-1%2F2%29)
讨论以下函数在x=0处的连续性x>0时,f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)x0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)x≤0时，f(x)=e^(-1/2)
讨论以下函数在x=0处的连续性
x>0时,f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)
x0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
x≤0时，f(x)=e^(-1/2)
讨论以下函数在x=0处的连续性x>0时,f(x)={[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)x0时，f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)x≤0时，f(x)=e^(-1/2)
∵x＞0时,f(x)={[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
∴两边同时取自然对数时,有：
㏑f(x)=㏑{[1+x]^(1/x)/e}^(1/x)
即㏑f(x)=（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
∴根据洛必达法则：
lim（x→0）（1/x²）㏑[1+x]-(1/x)
＝lim（x→0）{㏑[1+x]-x}/（1/x²）
＝lim（x→0）{[1/（x+1）]-1}/2x
＝lim（x→0）-x/(2x²+2x)
＝lim（x→0）-1/(4x+2)
＝-½
lim（x→0）㏑{[1+(1/x)]^(1/x)/e}^(1/x)＝e^(-½ )
∴函数于x＝0处连续
不连续，因为函数在x=0处无定义。
有定义是一个函数在一点处连续的先决条件(必要条件)。
为了讨论函数的连续性，往往补充函数在一点处的值（使之有定义）。
对于本题，由于 x→0- 时，f(x) → e^(-1/2)
x→0+ 时，1/x → +∞，f(x) → +∞
所以，无论怎样补充定义，函数在x=0处均不连续。
（疑为函数表达式给错了。是这样吗...
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不连续，因为函数在x=0处无定义。
有定义是一个函数在一点处连续的先决条件(必要条件)。
为了讨论函数的连续性，往往补充函数在一点处的值（使之有定义）。
对于本题，由于 x→0- 时，f(x) → e^(-1/2)
x→0+ 时，1/x → +∞，f(x) → +∞
所以，无论怎样补充定义，函数在x=0处均不连续。
（疑为函数表达式给错了。是这样吗：x>0时，f(x)={[(1+x)^(1/x)]/e}^(1/x) ？）
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