作业帮2008年韶关一模理科数学题 几何证明选讲题PC切圆心O于点C,割线PAB经过圆心,弦CD垂直AB于点E,PC=4,PB=8,则CD等于多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 04:25:42
2008年韶关一模理科数学题 几何证明选讲题PC切圆心O于点C,割线PAB经过圆心,弦CD垂直AB于点E,PC=4,PB=8,则CD等于多少?
2008年韶关一模理科数学题 几何证明选讲题
PC切圆心O于点C,割线PAB经过圆心,弦CD垂直AB于点E,PC=4,PB=8,则CD等于多少?
2008年韶关一模理科数学题 几何证明选讲题PC切圆心O于点C,割线PAB经过圆心,弦CD垂直AB于点E,PC=4,PB=8,则CD等于多少?
根据切割线定理,PC^2=PA*PB,16=8PA,PA=2,
2R=AB=PB-PA=8-2=6,R=3,
OP=AP+OA=3+2=5,
连结OC,OC垂直PC,
设CD与PB交于M,
则S△POC=OC*PC/2=OP*CM/2,
CM=4*3/5=12/5,
所以：CD=2CM=24/5.
设CE=X，AE=Y
那么 CD=2CE=2X
根据切割线定理，得到 PC^2=PA*PB
∴PA=PC^2/PB=4^2/8=2
从而 OA=OB=（PB-PA）/2=（8-2）/2=3
EB=AB-AE=6-Y
根据圆的相交弦定理，得 CE*DE=AE*EB
则 X^2=Y...
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设CE=X，AE=Y
那么 CD=2CE=2X
根据切割线定理，得到 PC^2=PA*PB
∴PA=PC^2/PB=4^2/8=2
从而 OA=OB=（PB-PA）/2=（8-2）/2=3
EB=AB-AE=6-Y
根据圆的相交弦定理，得 CE*DE=AE*EB
则 X^2=Y*（6-Y） ①
在直角三角形PCE中
PC^2=CE^2+PE^2=CE^2+(PA+AE)^2
则 4^2=X^2+(2+Y)^2 ②
①+②得10Y=12
∴Y=6/5
将Y=6/5代入①得
X^2=Y*（6-Y）=6/5*(6-6/5)=36*4/25
从而 X=12/5
∴CD=2X=2*12/5=24/5=4.8
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连结oc，则pc垂直于oc。由切割线定理知，pc的平方=PA乘以PB，所以，PA=2
.AB=8-2=6，半径=3，易知三角形PCO相似于三角形CEO，所以PC比CE=PO比CO，因此CE=5分之12，CD=2CE=5分之24.
连接OC设OC为X
则OP为8-X又因为pc为圆O的切线
所以三角形OCP为直角三角形
有勾股定理得4*4+X*X=（8-X）*（8-X）【*为乘号】
解得X=3
若BP与cd的交点为F设OF为y
3*3-y*y=4*4-（5-y）*（5-y）
解得y=1.8
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连接OC设OC为X
则OP为8-X又因为pc为圆O的切线
所以三角形OCP为直角三角形
有勾股定理得4*4+X*X=（8-X）*（8-X）【*为乘号】
解得X=3
若BP与cd的交点为F设OF为y
3*3-y*y=4*4-（5-y）*（5-y）
解得y=1.8
在直角三角形OFC中有勾股定理得
CF*CF=Co*CO-OF*OF
即CF*CF=3*3-1.8*1.8
CF=3.24
cd=2CF=6.48
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