第一型曲面积分

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 12:39:02

第一型曲面积分
第一型曲面积分

第一型曲面积分
S：z≥√(1-x^2-y^2),Dxy：x^2+y^2≤1,√(1+Zx^2+Zy^2)=1/√(1-x^2-y^2),
原积分=∫∫(x^2+y^2+(1-x^2-y^2)^(3/2))* 1/√(1-x^2-y^2)*dxdy,用极坐标换元法
=∫(0->1) (r^2+(1-r^2)^(3/2))* 1/√(1-r^2)*rdr∫(0->2π)dθ
=2π*∫(0->1) (r^2/√(1-r^2)+1-r^2) *rdr
=2π*[∫(0->1) (r^2/√(1-r^2) *rdr +∫rdr -∫r^3dr]
=2π*[∫(0->1) (r^3/√(1-r^2) dr +1/2*r^2 -1/4*r^4]
=2π*[∫(0->1) (-r^2d√(1-r^2)] +2π*(1/2 -1/4)
=2π*[ (-r^2*√(1-r^2) |(0->1) + ∫(0->1) √(1-r^2)*d(r^2)] +π/2
=2π*[ 0-2/3*(1-r^2)^(3/2)|(0->1) ] +π/2
=2π*[2/3 ] +π/2
=11π/6

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