用初等数论求解,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 06:47:33

用初等数论求解,
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用初等数论求解,
x^3-2x+6≡0(mod 125)
所以x^3-2x+1≡0(mod 5)
所以x≡1或2(mod 5)
①当x≡1(mod 5),设x=5y+1,则
(5y+1)^3-2*(5y+1)+6≡0(mod 125)
125y^3+3*25y^2+3*5y+1-10y-2+6≡0(mod 125)
75y^2+5y+5≡0(mod 125)
15y^2+y+1≡0(mod 25)
所以y+1≡0(mod 5),故y≡4(mod 5),设y=5z+4,则
15(5z+4)^2+(5z+4)+1≡0(mod 25)
15*25*z^2+15*5*2*z+15*16+5z+5≡0(mod 25)
5z+20≡0(mod 25)
z+4≡0(mod 5)
所以z≡1(mod 5),设z=5w+1,则x=5y+1=5(5z+4)+1=25z+21=25(5w+1)+21=125w+46
所以x≡46(mod 125)
②当x≡2(mod 5)时,设x=5y+2,则
(5y+2)^3-2*(5y+2)+6≡0(mod 125)
125y^3+3*25*2*y^2+3*5*4*y+8-10y-4+6≡0(mod 125)
25y^2+50y+10≡0(mod 125)
所以10≡0(mod 25),矛盾
综合①②得x≡46(mod 125).

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