Lebesgue积分题若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!鉴于一楼的答案，提醒回答者注意

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 20:44:53

Lebesgue积分题若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!鉴于一楼的答案，提醒回答者注意
Lebesgue积分题
若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：
当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx
有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!
鉴于一楼的答案，提醒回答者注意两点：
①这是Lebesgue可积，并没有f(x)连续的条件，所以积分中值定理慎用
②积分上下限是a→b，不是0→π/2

全部展开

我同学帮你解决了，答案送上！
1. 先证 f 是常数的情况，因为 ∫（a→b）= ∫（0→b）- ∫（0→a），所以只需证 :
∫（0→b）sin|nx|dx=2b/π 即可. 设 kπ/n <= b <= (k+1)π/n，函数 sin|nx| 在[0, b]上的积分就可以被夹逼出来了，
S1 = ∫（0→kπ/n）sin|nx|dx <= S = ∫（0→b）sin|nx|dx <= ∫（0→(k+1)π/n）sin|nx|dx = S2
S1 = k ∫（0→π/n）sin(nx) dx =2k/n, S2 = (k+1) ∫（0→π/n）sin(nx) dx = 2(k+1)/n
由 kπ/n <= b <= (k+1)π/n 知道，n趋于无穷的时候，k/n -> b/π，(k+1)/n->b/π. 于是就得到了
n→∞，S -> 2b/π，得证。
2.f 在[a,b]上Lebesgue可积，那么可以用阶梯函数逼近，每个阶梯函数在[a,b]上的小区间都是常数，由1的证明，上面的式子都成立，那么由课本上的定理，阶梯函数极限几乎处处趋于f，那么在[a,b]上积分极限就等于 f 在[a,b]的积分。证完！

收起

全部展开

将区间均分为n份，分点为xi=ipi/2n，i=0,1,2,...,n。原积分写为n个区间的积分和，再在每个区间上用积分中值定理，＝求和_{i=1到n}f(yi)积分_{x_{i-1}到x_i}|sinnx|dx=2/pi×求和_{i=0到n}f(yi)pi/(2n)，当n趋于无穷时，后者是积分和，极限就是f的积分值。中间要用到在每个子区间上
|sinnx|的积分为1，可以用变量很容易得到。
积分_{x_{i-1}到x_i}|sinnx|dx=积分_{从(i-1)pi/2到ipi/2}{|sinz|dz}/n，这一步是令nx＝z。
积分_{从(i-1)pi/2到ipi/2}{|sinz|dz}＝积分_{0到pi/2}{|sinz|dz}＝1，这一步是令z-(i-1)pi/2=x

收起

其实2楼的答案就很好啊，只用考虑f是常数就可以啊，因为这已经包括了所有区间的情况。同时也就证明了测度|sin(nx)|dx弱收敛于Lebesgue测度啊，因为在每个区间上都是收敛的。

Lebesgue积分题若f是[a,b]上Lebesgue可积函数,证明：当n→∞时,∫（a→b）f(x)|sinnx|dx=2/π*∫（a→b）f(x)dx有能做出来的或者能提供思路的都行啊……好的必有重赏!鉴于一楼的答案，提醒回答者注意 Lebesgue积分跪谢!实变函数：连续函数f(x)在(a,无穷)上广义积分收敛,f(x）是否在(a,无穷))Lebesgue 可积? 如何求这个Lebesgue积分f(x)=0,如果x是有理数1,如果x是无理数求[0,1]上的狄义赫利积分∫f(x)dx=?to 1L: Lebesgue积分中积分符号下的R是表示什么?在研究小波分析,另问ess sup|f(x)|是什么意思?谢谢一道高数定积分题目：f(x)在[a,b]上有定义,若|f(x)|在[a,b]的定积分存在,f(x)在[a,b]上的定积分是否存在答案是不一定,能举个|f(x)|的定积分存在,而f(x)的定积分不存在的反例吗? 高等数学定积分奇偶性如果f(x)是偶函数,则“积分:(a,0)f(-t)dt=积分:(0,a)f(-t)dt”.这是为什么啊,变换积分上下限不是要变号吗?怎么不是：积分:(a,0)f(-t)dt=负积分:(0,a)f(-t)dt,如果改为积分:(a,b)f(-t)dt 关于积分中值定理的问题这是课本上积分中值定理的表述：若函数 f(x) 在闭区间 [a,b]上连续,则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点 ξ,使下式成立 ∫ 下限a上限b f(x)dx=f(ξ)(b-a) （ a≤ ξ≤ b) 我一道定积分题若函数f在[a,b]上可积,F在[a证明,b]上连续,且除有限个点外有F'(x)=f(x),证明f(x)在[a,b]上的定积分为F(b)-F(a) 关于积分中值定理从a到b积分,∫xf(x)dx=εf(ε)(b-a),∫xf(x)dx=f(ε)∫xdx,（积分的上下限都是a到b)这两种用积分中值定理哪种对啊,我觉得是第一种,但是刚才做题发现答案是第二种的做法,请说明是 f(x)在[a,b]上连续可导,f'(x)≤0 若F(x)=1/x-a,定积分∫f(t)dt[a,x] 证明在(a,b)满足F'(x)≤0如题, 【定积分问题】关于可积性的一道题设函数f在[a,b]上可导,证明：若|f'|在[a,b]上可积,则f'在[a,b]上可积说明：f'表示f的导函数,|f‘|表示导函数的绝对值.本题是一道《数学分析》习题.课本上的若f在[a,b]上连续,则定积分(∫_a^x_ t.f(t)dt)'=xf(x)吗?为什么那个定积分上限是x,下限是a 证明:证若f是[a,b]上的非负严格单调,且f(b)=1.试证:则n趋向于正无穷时积分a到b(f(x))的n次方dx趋向于0证明:证若f是[a,b]上的非负严格单调,且f(b)=1.试证:则n趋向于正无穷时{积分a到b[(f(x))的n次方]d （高数证明题）f(x)在〔a,b〕上连续,证明∫f（x）dx=（b-a)∫f〔a+（b-a）x〕dx 注：所有∫（积分下限是a,积分上限是b) 函数可积若[a,b]上 f(x)可积 g(x)连续, 则f(g(x))未必可积. 请举个例子貌似 1/x^2 在[0,1]上是黎曼可积的~ 积分发散是广义积分吗？我还没学过~ 前两天问了老师，老师说[a,b]上 f(x)可积 g(x)连函数f(x)在[a,b]上有定义且|f(x)|在[a,b]上可积,此时f(x)在[a,b]上的定积分为什么不一定存在?这是同济大学《高等数学》第六版第269页总习题五第1题第(4)个填空题但是没弄懂为什么.可积分一定定积分的高数数学题设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(x)>=0,若∫（b a)f(x)dx=0,证明f(x)恒等于0我解答的是f(a)>=0,f(b)>=0,任取c属于[b-a],所以∫（b a)f(x)dx=f(c)(b-a)=0,因为b不等于a,c为[a,b]上任取的一点,