【数学高手出招】证明:周长一定的凸多边形中以正多边形的面积最大

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 12:37:57

【数学高手出招】证明:周长一定的凸多边形中以正多边形的面积最大
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【数学高手出招】证明:周长一定的凸多边形中以正多边形的面积最大
若会高等数学可以用如下方式证
1任何n边形存在一凸n边形使之面积不小于原n边形.
2有一个顶点在原点的一个凸n边形（包括退化的凸多边形)是由其他n-1个点的坐标决定所以可以看成2n-2维空间中一点周长一定的情况下
这些点组成的集合石 2n-2为空间中的一个紧集.
3面积是这个空间中的连续函数所以存在一点取最大值.则这个点决定的多边形面积最大设为S.
4若S有2相邻边不相等则设为AB,BC 则在AC同侧有点B1有 AB1=B1C 且AB1+B1C=AB+BC 则三角形AB1C的面积>ABC的面积.则将B换为B1 得多边形S1 有面积S1>面积S 则存在凸n边形S2>=S1>S 与S面积最大矛盾.故S所有边相等.
5S的每条边相等存在S1为正n边形与S边长相等.则S1内接与一圆O1 每段边外有一弓形在S的每边处向外作相同的弓形得以曲边n边形O 则O,O1周长相等.由等周定理 O1的面积>=O的面积所以 S1面积+n弓形面积>= S面积+n弓形面积则S1面积>=S面积故得证.

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