设x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为

设x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为
设x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为

设x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为
设x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为:
设f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,
因为x,y,z是非负实数,
所以,在x,y,z是非负实数域内f对x,y,z的偏微分都存在,
三元函数f有极值的必要条件：
设P0(x0,y0,z0)是x,y,z非负实数域内的一点,
则f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2在p0处可微分且有极值,
则əf/əx[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,əf/əy[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,əf/əz[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,
三元函数f有极值的充分条件：
若əf/əx[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,əf/əy[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,əf/əz[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0,
对二阶偏微分组合表达式用D表示 D={[h1(ə/əx)+h2(ə/əy)+h3(ə/əz)]^2}f,
当√[(h1)^2+(h2)^2+(h3)^2]甚小时,
若D恒为正,可理解为此处的曲面开口向上,则f(P0)为极小；
若D恒为负,可理解为此处的曲面开口向下,则f(P0)为极大.
现在开始找这个P0点,P0=(x0,y0,z0)：
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,
求一阶偏微分：
əf/əx=2xy^2+2xz^2=2x(y^2+z^2),
əf/əy=2yx^2+2yz^2=2y(z^2+x^2),
əf/əz=2zy^2+2zx^2=2z(x^2+y^2);
求二阶偏微分：
ə[əf/əx]/əx=ə[2x(y^2+z^2)]/əx=2(y^2+z^2),
ə[əf/əy]/əx=ə[2y(z^2+x^2)]/əx=4xy,
ə[əf/əz]/əx=ə[2z(x^2+y^2)]/əx=4zx,
ə[əf/əx]/əy=ə[2x(y^2+z^2)]/əy=4xy,
ə[əf/əy]/əy=ə[2y(z^2+x^2)]/əy=2(z^2+x^2),
ə[əf/əz]/əy=ə[2z(x^2+y^2)]/əy=4yz,
ə[əf/əx]/əz=ə[2x(y^2+z^2)]/əz=4zx,
ə[əf/əy]/əz=ə[2y(z^2+x^2)]/əz=4yz,
ə[əf/əz]/əz=ə[2z(x^2+y^2)]/əz=2(x^2+y^2),
一阶偏导等于0,才有可能存在极值,
əf/əx=2x(y^2+z^2)=0,
əf/əy=2y(z^2+x^2)=0,
əf/əz=2z(x^2+y^2)=0;
再结合 x,y,z是非负实数,且x+y+z=2,
x,y,z不可能同时为0,
则
əf/əx=2x(y^2+z^2)=0时,x=0,y+z=2,记为A; 或 x=2,y=z=0,记为D;
əf/əy=2y(z^2+x^2)=0时,y=0,z+x=2,记为B; 或 y=2,z=x=0,记为E;
əf/əz=2z(x^2+y^2)=0时,z=0,x+y=2记为C; 或 z=2,x=y=0,记为F;
在这几个范围内一阶偏导数都等于0,f函数的极值就存在于它们中间.
在A的情况下,
因为x=0,f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=y^2z^2,
y,z分别取何值时可以使f=y^2z^2取得极值?
问题回到二元函数极值的求解过程：
əf/əy=2yz^2=0,əf/əz=2y^2z=0,才可能取极值,
y=0,z=2,x=0；或y=2,z=0,x=0
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=y^2z^2=0 是其极小值;
当x=0,y=1,z=1,【这个解是联立y+z=2,和y^2z^2获得极大值为条件而解得的】,
记为 点G(0,1,1),
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
同理,在B的情况下,x=0,y=0,z=2; 或 x=2,y=0,z=0; 才可能取极值,
其极小值是f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=z^2x^2=0;
当x=1,y=0,z=1,记为 点H（1,0,1）,
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
同理,在C的情况下,x=0,y=2,z=0; 或 x=2,y=0,z=0; 才可能取极值,
其极小值是f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=x^2y^2=0;
当x=1,y=1,z=0,记为I(1,1,0),
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
D=ə[əf/əx]/əx+ə[əf/əy]/əx+ə[əf/əz]/əx+
+ə[əf/əx]/əy+ə[əf/əy]/əy+ə[əf/əz]/əy+
+ə[əf/əx]/əz+ə[əf/əy]/əz+ə[əf/əz]/əz=
=2(y^2+z^2)+4xy+4zx+
+4xy+2(z^2+x^2)+4yz+
+4zx+4yz+2(x^2+y^2)=
=4(x^2+y^2+z^2)+8(xy+yz+zx),
[偏微分的系数h1,h2,h3都取1]
二阶偏微分在那些点的值都是正值,至少可以判断0是函数的极小值.
函数极大值的判断要利用别的方法.注意,最大值是在极大值和特殊点的值（比如端点值或特殊点值）中经过比较选出的.
总结：考察下面的几个极端值：【D、E、F是增加出来单列的】
即 点A（0,1,1); 或 x=2,y=z=0,即 点D（2,0,0）；
即 点B（1,0,1); 或 y=2,z=x=0,即 点E（0,2,0）；
即 点C（1,1,0); 或 z=2,x=y=0,即 点F（0,0,2）；
x=0,y=1,z=1; 即点G(0,1,1);
y=0,z=1,x=1; 即点H(1,0,1);
z=0,x=1,y=1; 即点I(1,1,0);
在以上存在符合题意条件极值点的范围内确定最大值和最小值：
函数f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 的最大值是1,最小值是0,
函数f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 的最大值和最小值的和是1.
做得较详细是为了让同学好理解.

其中两个为0，最小值为0。一个为0，两个是一，最大值为1。

设x,y,z是非负实数，且x+y+z=2，则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为:
设f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,
因为x,y,z是非负实数，
所以，在x,y,z是非负实数域内f对x,y,z的偏微分都存在，
三元函数f有极值的必要条件：
设P0(x0,y0,z0)是x,y,z非负实数域内的一点，
则f=x^...

全部展开

设x,y,z是非负实数，且x+y+z=2，则x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2的最大值和最小值之和为:
设f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,
因为x,y,z是非负实数，
所以，在x,y,z是非负实数域内f对x,y,z的偏微分都存在，
三元函数f有极值的必要条件：
设P0(x0,y0,z0)是x,y,z非负实数域内的一点，
则f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2在p0处可微分且有极值，
则əf/əx[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0，əf/əy[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0，əf/əz[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0，
三元函数f有极值的充分条件：
若əf/əx[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0，əf/əy[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0，əf/əz[在x=x0,y=y0,z=z0处]=0，
对二阶偏微分组合表达式用D表示 D={[h1(ə/əx)+h2(ə/əy)+h3(ə/əz)]^2}f,
当√[(h1)^2+(h2)^2+(h3)^2]甚小时，
若D恒为正，可理解为此处的曲面开口向上，则f(P0)为极小；
若D恒为负，可理解为此处的曲面开口向下，则f(P0)为极大。
现在开始找这个P0点，P0=(x0,y0,z0)：
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2,
求二阶偏微分：
ə[əf/əx]/əx=ə[2x(y^2+z^2)]/əx=2(y^2+z^2),
ə[əf/əy]/əx=ə[2y(z^2+x^2)]/əx=4xy,
ə[əf/əz]/əx=ə[2z(x^2+y^2)]/əx=4zx,
ə[əf/əx]/əy=ə[2x(y^2+z^2)]/əy=4xy,
ə[əf/əy]/əy=ə[2y(z^2+x^2)]/əy=2(z^2+x^2),
ə[əf/əz]/əy=ə[2z(x^2+y^2)]/əy=4yz,
ə[əf/əx]/əz=ə[2x(y^2+z^2)]/əz=4zx,
ə[əf/əy]/əz=ə[2y(z^2+x^2)]/əz=4yz,
ə[əf/əz]/əz=ə[2z(x^2+y^2)]/əz=2(x^2+y^2),
一阶偏导等于0，才有可能存在极值，
əf/əx=2x(y^2+z^2)=0,
əf/əy=2y(z^2+x^2)=0,
əf/əz=2z(x^2+y^2)=0;
再结合 x,y,z是非负实数，且x+y+z=2，
x,y,z不可能同时为0，
则
əf/əx=2x(y^2+z^2)=0时，x=0,y+z=2,记为A; 或 x=2,y=z=0,记为D;
əf/əy=2y(z^2+x^2)=0时，y=0,z+x=2,记为B; 或 y=2,z=x=0,记为E;
əf/əz=2z(x^2+y^2)=0时，z=0,x+y=2记为C; 或 z=2,x=y=0,记为F;
在这几个范围内一阶偏导数都等于0，f函数的极值就存在于它们中间。
在A的情况下，
因为x=0, f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=y^2z^2,
y,z分别取何值时可以使f=y^2z^2取得极值？
问题回到二元函数极值的求解过程：
əf/əy=2yz^2=0, əf/əz=2y^2z=0,才可能取极值，
y=0,z=2,x=0；或y=2,z=0,x=0
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=y^2z^2=0 是其极小值;
当x=0,y=1,z=1, 【这个解是联立y+z=2,和y^2z^2获得极大值为条件而解得的】，
记为 点G(0,1,1),
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
同理，在B的情况下，x=0,y=0,z=2; 或 x=2,y=0,z=0; 才可能取极值，
其极小值是f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=z^2x^2=0;
当x=1,y=0,z=1, 记为 点H（1,0,1），
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
同理，在C的情况下，x=0,y=2,z=0; 或 x=2,y=0,z=0; 才可能取极值，
其极小值是f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=x^2y^2=0;
当x=1,y=1,z=0, 记为I(1,1,0),
f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=1是其极大值;
D=ə[əf/əx]/əx+ə[əf/əy]/əx+ə[əf/əz]/əx+
+ə[əf/əx]/əy+ə[əf/əy]/əy+ə[əf/əz]/əy+
+ə[əf/əx]/əz+ə[əf/əy]/əz+ə[əf/əz]/əz=
=2(y^2+z^2)+4xy+4zx+
+4xy+2(z^2+x^2)+4yz+
+4zx+4yz+2(x^2+y^2)=
=4(x^2+y^2+z^2)+8(xy+yz+zx),
[偏微分的系数h1,h2,h3都取1]
二阶偏微分在那些点的值都是正值，至少可以判断0是函数的极小值。
函数极大值的判断要利用别的方法。注意，最大值是在极大值和特殊点的值（比如端点值或特殊点值）中经过比较选出的。
总结：考察下面的几个极端值：【D、E、F是增加出来单列的】
即 点A（0,1,1); 或 x=2,y=z=0，即 点D（2,0,0）；
即 点B（1,0,1); 或 y=2,z=x=0，即 点E（0,2,0）；
即 点C（1,1,0); 或 z=2,x=y=0，即 点F（0,0,2）；
x=0，y=1，z=1; 即点G(0,1,1);
y=0，z=1，x=1; 即点H(1,0,1);
z=0，x=1，y=1; 即点I(1,1,0);
在以上存在符合题意条件极值点的范围内确定最大值和最小值：
函数f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 的最大值是1，最小值是0，
函数f=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 的最大值和最小值的和是1。
做得较详细是为了让同学好理解。

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