作业帮微分方程应用题 晕了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 10:07:04
微分方程应用题 晕了
微分方程应用题 晕了
微分方程应用题 晕了
设曲线y=f(x)
为了看起来方便,把点P(x,y)用P(t,f(t))代替.
那么,曲线上一点P(t,f(t))与A连线AP,与曲线y=f(x)所围成的面积为t^3
直线AP的解析式y=[(f(t)-1)x/t]+1
所以S=∫(0->t) {f(x)-[(f(t)-1)x/t]-1} dx=t^3
上式拆分后
∫(0->t)f(x)dx- [(f(t)-1)/t] [∫(0->t) xdx]-t=t^3
所以
∫(0->t)f(x)dx-(f(t)-1)t/2-t=t^3
整理后得到
2∫(0->t)f(x)dx-tf(t)-t=t^3
两边对t求导得到
f(t)-tf'(t)-1=3t^2
整理后f'(t)-(1/t)f(t)=-3t-1/t
令p(t)=-(1/t),q(t)=-3t-1/t
带入公式后解的f(t)=-3t^2+ct+1
因为满足f(1)=0
解得c=2
所以f(t)=-3t^2+2t+1
f(x)=-3x^2+2x+1