求证:当X>0时,(1+1/X)的x次方

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 03:33:36
求证:当X>0时,(1+1/X)的x次方

求证:当X>0时,(1+1/X)的x次方
求证:当X>0时,(1+1/X)的x次方

求证:当X>0时,(1+1/X)的x次方
象(1+1/x)^x之类的形式,首先的想法就是先取对数
证明:
不等式两边同时取自然对数,自然对数单调递增,故不等式不变号
xln(1+1/x)<1
又x>0
故等价于ln(1+1/x)<1/x
令t=1/x,
<=> 当t>0时,ln(1+t)<t
构造函数f(t)=ln(1+t)-t,f(0)=0,f'(t)=1/(1+t)-1<0,
故f(t)在[0,+∞)上单调递减
即当t>0时,f(t)<f(0),
ln(1+t)-t<0
即ln(1+t)<t
故x>0时,ln(1+1/x)<1/x
x>0 时,(1+1/x)^x < e