作业帮已知一个梯形的4边长分别为1,2,3,4,则此梯形的面积等于多少?（全国初中数学联赛试题）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 11:25:30
已知一个梯形的4边长分别为1,2,3,4,则此梯形的面积等于多少?（全国初中数学联赛试题）
已知一个梯形的4边长分别为1,2,3,4,则此梯形的面积等于多少?（全国初中数学联赛试题）
已知一个梯形的4边长分别为1,2,3,4,则此梯形的面积等于多少?（全国初中数学联赛试题）
这个让我来吧.主要问题是“梯形的可能性”
由于没有图片,我说明一下记号：
设梯形为ABCD,AB//CD,记梯形四条边的长度为：
AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,并且假设c>a（仅仅是上下底边的假设）
现在过A点作BC的平行线交CD于E点,容易知道AE=BC=b
在三角形ADE中,使用“三角形两边之和大于第三边”这个定理,
就有AE+DE>AD,DE=CD-AB=c-a,AE=b,AD=d,
所以：c-a+b>d,即c-a>d-b.
同理,过B作AD的平行线,用相同的方法可以得到不等式：
c-a>b-d.
综合两条不等式,就是c-a>|b-d|,其中||表示绝对值.
由于a,b,c,d只能够取1,2,3,4,代入检验一下,就知道
只有c=4,a=1,b和d取2,3符合上面的不等式,检验就略过了,因为
比较容易.
剩下的就好办了,不妨设b=2,d=3,
过A作AG垂直于CD于G,过B作BH垂直于CD于H,
设DG=x,CH=y,则
AG^2=AD^2-DG^2,即AG^2=9-x^2
同理,BH^2=4-y^2
显然BH=AG,所以
9-x^2=4-y^2
又GH=AB=a=1,所以x+y+1=CD=4
联立方程有：
9-x^2=4-y^2
x+y+1＝4,
再提示一下,解这个方程的时候可以对第一个因式分解为
y^2-x^2=(y+x)(y-x)=3*(y-x)=-5,这样容易解一些.
解得x=7/3,y=2/3
这样就有AG^2=9-(7/3)^2=32/9
AG＝4*(根号2)/3
面积为（1+4）*AG/2=10/3根号2
10*（根号2）/3
先分析情况，成立的只有以1，4为上下底的梯形，然后进行简单的分割可求得答案：10*（根号2）/3
是（10根号2）/3吗
2.5
等于5