作业帮证明：任意两奇数的平方差能被8整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 06:26:22
证明：任意两奇数的平方差能被8整除
证明：任意两奇数的平方差能被8整除
证明：任意两奇数的平方差能被8整除
设任何奇数为2m-1,2n-1(m,n是整数）则
(2m-1)^2-(2n-1)^2
=4m^2-4m-4n^2+4n
=4(m^2-n^2-m+n)
=4[(n+n)(m-n)-(m-n)]
=4(m-n)(m+n-1)
可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可.
若m,n都是奇数,则m-n为偶数,所以能被8整除
若m,n都是偶数,则m-n为偶数,所以能被8整除
若m,n一奇一偶,则m+n-1是偶数,所以能被8整除
所以不管什么情况,都有4(m-n)(m+n-1)被8整除
故任意两奇数的平方差能被8整除
设两个连续奇数为2n-1，2n+1，
则（2n+1）^2-（2n-1）^2=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=8n，
故能被8整除．
证明：设x=2m-1，y=2n-1(m、n∈Z)为任意两奇数，
则x²-y²=4(m-n)(m+n-1)，
因为(m-n)与(m+n-1)中必是一奇一偶，所以x²-y²必为8的倍数，
即任意两奇数的平方差能被8整除。
设m、n为任意自然数，m大于n，则2m+1、2n+1为奇数，两者平方差为
4m（m+1）-4n（n+1）=4【m（m+1）-n（n+1）】-----------1
明显m（m+1）必为偶数，令m（m+1）=2a-----（a为自然数）
同理n（n+1）必为偶数，令n（n+1）=2b-----（b为自然数）
可知a-b为自然数
1式可写为4（2a-2...
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设m、n为任意自然数，m大于n，则2m+1、2n+1为奇数，两者平方差为
4m（m+1）-4n（n+1）=4【m（m+1）-n（n+1）】-----------1
明显m（m+1）必为偶数，令m（m+1）=2a-----（a为自然数）
同理n（n+1）必为偶数，令n（n+1）=2b-----（b为自然数）
可知a-b为自然数
1式可写为4（2a-2b）=8（a-b），得证
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