作业帮求助数学题 已知整数x、y满足方程y^2+3x^2y^2=30x^2+517,则3x^2y^2=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:37:13
求助数学题 已知整数x、y满足方程y^2+3x^2y^2=30x^2+517,则3x^2y^2=?
求助数学题 已知整数x、y满足方程y^2+3x^2y^2=30x^2+517,则3x^2y^2=?
求助数学题 已知整数x、y满足方程y^2+3x^2y^2=30x^2+517,则3x^2y^2=?
y²＋3x²y²＝30x²＋517
y²﹙3x²＋1﹚＝10﹙3x²＋1﹚＋507
﹙3x²＋1﹚﹙y²－10﹚＝507
＝1×507
＝3×169
＝13×39
∵ x、y均为整数,
∴ 3x²＋1＝13,x²＝4
y²－10＝39,y²＝49
∴ 3x²y²＝3×4×49＝588.
将方程整理得
（3y²-30）x²=517-y²
所以
x²=（517-y²）/（3y²-30）
由于
x²≥0
所以
（517-y²）/（3y²-30）≥0
解得
10
全部展开
将方程整理得
（3y²-30）x²=517-y²
所以
x²=（517-y²）/（3y²-30）
由于
x²≥0
所以
（517-y²）/（3y²-30）≥0
解得
10
所以y²=16,25,36,49,64,81,100,121，……484
当y²=16时，x²=（517-16）/（3*16-30）=501/18 非完全平方数 舍去
当y²=25时，x²=492/45 舍去
当y²=36时，x²=486/78 舍去
当y²=49时，x²=4 满足题意 此时 3x²y²=3x4x49=588
当y²=64时，x²=453/162 舍去
当y²=81时，x²=436/213 舍去
当y²=100时，x²=417/270 舍去
当y²=121时，x²=396/333 舍去
当y²=144时，x²=373/402 舍去
如下均不满足题意，舍去
所以满足题意的解为x²=4，y²=49
此时 3x²y²=3x4x49=588
收起
由原方程得：
y²=507/(1+3x²)+10
等式右边须为完全平方数，所以：
507/(1+3x²)≥6
x≤5
同时，507/(1+3x²)须为整数，所以分母须为奇数，所以：
x须为偶数
所以x=2或x=4
验证得：x=2
代入已知条件得：y=7
3x²y...
全部展开
由原方程得：
y²=507/(1+3x²)+10
等式右边须为完全平方数，所以：
507/(1+3x²)≥6
x≤5
同时，507/(1+3x²)须为整数，所以分母须为奇数，所以：
x须为偶数
所以x=2或x=4
验证得：x=2
代入已知条件得：y=7
3x²y²=3*2²*7²=588
收起