作业帮高数证明问题,有关定积分,求详细过程,给好评O(∩_∩)O
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 12:46:50
高数证明问题,有关定积分,求详细过程,给好评O(∩_∩)O
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利用换元积分证明
令t=x²,∵0≤x≤√(2*π),∴x=√t,dx=(√t)’dt=1/(2*√t)dt
当x=0时,t=0；当x=√(2*π)时,t=2*π
则I=∫{0,√(2*π)}sin(x²)dx
=∫{0,2*π}sint/(2*√t)dt
=∫{0,π}sint/(2*√t)dt+∫{π,2*π}sint/(2*√t)dt
再令t=2*π-u,则dt= -du
当t=π时,u=π；当t=2*π时,u=0
∫{π,2*π}sint/(2*√t)dt=∫{π,0}sin(2*π-u )/[2*√(2*π-u )]*(-1)du
=-∫{0,π}sinu/[2*√(2*π-u )]du
=-∫{0,π}sint/[2*√(2*π-t )]dt
故I=∫{0,π}{sint/(2*√t)-sint/[2*√(2*π-t)]}dt
=1/2*∫{0,π}{sint*[1/√t-1/√(2*π-t)]}dt
=1/2*∫{0,π}{sint*[√(2*π-t)-√t ]/√[t*(2*π-t)]}dt
∵0≤t≤π,∴2*π-t≥t
则sint*[√(2*π-t)-√t ]/√[t*(2*π-t)]≥0,等号仅在t=π时成立
因此,I=∫{0,√(2*π)}sin(x²)dx>0
用分部积分法做！先把积分算出来，然后再证明
mark
先占楼，在回答，楼主莫急，一定给你讲明白
这道题里，x的范围是0-根号2π
所以x2的范围是0-2π
这道题就转化为sinXdX大于0（X在0到2π之间）
sinXdX其实就是sinX在这个范围内的面积，（X在0到2π之间）
画个正弦图像，我们就知道sin图像在0到2π之间的面积是0（上下抵消了）
所以左边的就等于0了，所以证明好了
你还可以...
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先占楼，在回答，楼主莫急，一定给你讲明白
这道题里，x的范围是0-根号2π
所以x2的范围是0-2π
这道题就转化为sinXdX大于0（X在0到2π之间）
sinXdX其实就是sinX在这个范围内的面积，（X在0到2π之间）
画个正弦图像，我们就知道sin图像在0到2π之间的面积是0（上下抵消了）
所以左边的就等于0了，所以证明好了
你还可以参考下面的公式：
∫sinx²dx=∫1-cosx²dx=∫1-(1+cos2x)/2dx=∫1/2-1/2cos2xdx=(1/2)x-(1/2)∫cos2xdx=(1/2)x-(1/4)sin2x
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