作业帮若x≥1,y≥1,z≥1,xyz=10,且x^(lgx) • y^(lgy) • z^(lgz)≥10,则x+y+z=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 21:34:12
若x≥1,y≥1,z≥1,xyz=10,且x^(lgx) • y^(lgy) • z^(lgz)≥10,则x+y+z=?
若x≥1,y≥1,z≥1,xyz=10,且x^(lgx) • y^(lgy) • z^(lgz)≥10,则x+y+z=?
若x≥1,y≥1,z≥1,xyz=10,且x^(lgx) • y^(lgy) • z^(lgz)≥10,则x+y+z=?
令lgx=a,lgy=b,lgz=c
则x=10^a,y=10^b,z=10^c
则x^（lgx）=(10^a)^2,y^（lgy）=(10^b)^2,z^（lgz）=(10^c)^2
有x^（lgx）×y^（lgy）×z^（lgz）＝10则可转换为 10^(a^2 *b^2 *c^2)=10
即有a^2 *b^2 *c^2=1……………………1式
已知xyz＝10,则有10^(a+b+c)=10
即有 a+b+c=1……………………2式
且x,y,z>=1,则a=lgx>=0,同理a,b,c>=0……………………………3式
由123式可知,abc中必有一个为1,另两个为0
（原因：a^2+b^2+c^2=a2+b2+(1-a-b)2=2(a^2+b^2+ab+a+b)+1=1,所以a^2+b^2+ab+a+b=0,且a,b>=0,左边>=3ab+2根号ab>=0,Min时,a=b=0,c=1,abc三者等同）
所以对于x=10^a,y=10^b,z=10^c
x=1,y=1,z=10; 或x=10,y=1,z=1;或x=1,y=10,z=1.
所以x+y+z=12
xyz=10
取对数有：lgx+lgy+lgz=lg10=1
x^(lgx)*y^(lgy)*z^(lgz)>=10
取对数有：(lgx)^2+(lgy)^2+(lgz)^2>=lg10=1
另lgx=a,lgy=b,lgz=c,因为：x>=1,y>=1,z>=1,所以：a>=0,b>=0,c>=0
所以：a+b+c=1,a^2+b^2+c^2>=1
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xyz=10
取对数有：lgx+lgy+lgz=lg10=1
x^(lgx)*y^(lgy)*z^(lgz)>=10
取对数有：(lgx)^2+(lgy)^2+(lgz)^2>=lg10=1
另lgx=a,lgy=b,lgz=c,因为：x>=1,y>=1,z>=1,所以：a>=0,b>=0,c>=0
所以：a+b+c=1,a^2+b^2+c^2>=1
a^2+b^2+c^2>=1=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)
所以：
ab+ac+bc<=0
因为：a>=0,b>=0,c>=0
所以：
ab=0,ac=0,bc=0,又因为：a+b+c=1
则有其中两个为0，另外一个为：1
另a=1,b=c=0,则：x=10,y=1,z=1
有：x+y+z=12
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