作业帮空间向量基本定理已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,满足OP=xOA+yOB+zOC（x.y.z∈R）,则“点P位于平面ABC内”的充要条件是“x+y+z=1”.请给与严格证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 16:30:26
空间向量基本定理已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,满足OP=xOA+yOB+zOC（x.y.z∈R）,则“点P位于平面ABC内”的充要条件是“x+y+z=1”.请给与严格证明.
空间向量基本定理
已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,满足OP=xOA+yOB+zOC（x.y.z∈R）,则“点P位于平面ABC内”的充要条件是“x+y+z=1”.请给与严格证明.
空间向量基本定理已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,满足OP=xOA+yOB+zOC（x.y.z∈R）,则“点P位于平面ABC内”的充要条件是“x+y+z=1”.请给与严格证明.
该问题对空间向量的基本定理的表述不够准确,建议修改如下：
已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,则点P位于平面ABC内的充要条件是：存在x.y.z∈R,满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC.
证明：（充分性）
∵x+y+z=1
∴ z=1-x-y
又∵OP=xOA+yOB+zOC
∴ OP =xOA+yOB+（1-x-y）OC
OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC
OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）
∴ CP=xCA+yCB
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴ 根据平面向量的基本定理可知,点P位于平面ABC内
∴ 充分性成立
（必要性）
∵点P位于平面ABC内
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴ 根据平面向量的基本定理可知,存在实数x,y使得
CP=xCA+yCB
∴ OP-OC=x（OA-OC）+y（OB-OC）
OP=x（OA-OC）+y（OB-OC）+OC
OP =xOA+yOB+（1-x-y）OC
令z=1-x-y
则x+y+z=1 且 OP=xOA+yOB+zOC
即,存在实数x、y、z满足x+y+z=1,使得OP=xOA+yOB+zOC
∴ 必要性成立
【1】x+y+z=1推点P位于平面ABC内（必要性）
OP=XOA+YOB+(1-X-Y)OC
=XOA-XOC+YOB-YOC+OC
=X(OA-OC)+Y(OB-OC)+OC
=XCA+YCB+OC
等价于：OP-OC=XCA+YCB
所以 CP=XCA+YCB
所以得证
【2】点P位于平面ABC内推x...
全部展开
【1】x+y+z=1推点P位于平面ABC内（必要性）
OP=XOA+YOB+(1-X-Y)OC
=XOA-XOC+YOB-YOC+OC
=X(OA-OC)+Y(OB-OC)+OC
=XCA+YCB+OC
等价于：OP-OC=XCA+YCB
所以 CP=XCA+YCB
所以得证
【2】点P位于平面ABC内推x+y+z=1（充分性）
设CP=XCA+YCB，则OP-OC=XCA+YCB
OP=XCA+YCB+OC
所以OP=X(OA-OC)+Y(OB-OC)+(1-X-Y)OC
即OP=XCA+YCB+(1-X-Y)OC
所以令1-X-Y=Z 则x+y+z=1
综上“点P位于平面ABC内”的充要条件是“x+y+z=1”得证。
收起
数学，我觉得发现它的对称完美性比得到它的证明更重要。