高中所有函数图象

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一次函数
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：
y=kx+b
则此时称y是x的一次函数.

特别地,当b=0时,y是x的正比例函数.
即：y=kx （k为常数,k≠0）
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距.
三、一次函数的图像及性质：
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线,可以作出一次函数的图像——一条直线.因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可.（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式：y=kx+b.（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0,b),与x轴总是交于（-b/k,0）正比例函数的图像总是过原点.
3．k,b与函数图像所在象限：
当k＞0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大；
当k＜0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小.
当b＞0时,直线必通过一、二象限；
当b=0时,直线通过原点
当b＜0时,直线必通过三、四象限.
特别地,当b=O时,直线通过原点O（0,0）表示的是正比例函数的图像.
这时,当k＞0时,直线只通过一、三象限；当k＜0时,直线只通过二、四象限.
四、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1,y1）；B（x2,y2）,请确定过点A、B的一次函数的表达式.
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b.
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x,y）,都满足等式y=kx+b.所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②
（3）解这个二元一次方程,得到k,b的值.
（4）最后得到一次函数的表达式.
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数.s=vt.
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数.设水池中原有水量S.g=S-ft.
六、常用公式：（不全,希望有人补充）
1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 （注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c
（a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数.
二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h,k）]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁ ,0）和 B（x₂,0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条抛物线.
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线
x = -b/2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
Δ= b^2-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.X的取值是虚数（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a）
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.
1．二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式\x09顶点坐标\x09对 称 轴
y=ax^2\x09(0,0)\x09x=0
y=a(x-h)^2\x09(h,0)\x09x=h
y=a(x-h)^2+k\x09(h,k)\x09x=h
y=ax^2+bx+c\x09(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)\x09x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象；
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a)．
3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而增大．若a<0,当x ≤ -b/2a时,y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时,y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c)；
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0；当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0．
5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0),则当x= -b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目.因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现．
反比例函数
形如 y＝k／x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数.
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
反比例函数图像性质：
反比例函数的图像为双曲线.
由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称.
另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣.
如图,上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像.
当K＞0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数
当K＜0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数
反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交.
知识点：
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |.
2.对于双曲线y＝k／x ,若在分母上加减任意一个实数 (即 y＝k／（x±m）m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位.（加一个数时向左平移,减一个数时向右平移）
对数函数
对数函数的一般形式为 ,它实际上就是指数函数 的反函数.因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数.
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数.
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合.
（2）对数函数的值域为全部实数集合.
（3）函数总是通过（1,0）这点.
（4）a大于1时,为单调递增函数,并且上凸；a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹.
（5）显然对数函数无界.
指数函数
指数函数的一般形式为 ,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得
如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况.
可以看到：
（1） 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑.
（2） 指数函数的值域为大于0的实数集合.
（3） 函数图形都是下凹的.
（4） a大于1,则指数函数单调递增；a小于1大于0,则为单调递减的.
（5） 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0）,函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置.其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置.
（6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交.
（7） 函数总是通过（0,1）这点.
（8） 显然指数函数无界.
奇偶性
注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
1．定义
一般地,对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数.
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数.
说明：①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇（或偶）函数.
（分析：判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
2．奇偶函数图像的特征：
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形.
f(x)为奇函数《＝＝》f(x)的图像关于原点对称
点（x,y）→（-x,-y）
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增.
偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减.
3. 奇偶函数运算
(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
定义域
（高中函数定义）设A,B是两个非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x属于集合A.其中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的定义域；
值域
名称定义
函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合
常用的求值域的方法
（1）化归法；（2）图象法（数形结合）,
（3）函数单调性法,
（4）配方法,（5）换元法,（6）反函数法（逆求法）,（7）判别式法,（8）复合函数法,（9）三角代换法,（10）基本不等式法等
关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”.平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑.然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）.如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况.才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识.
“范围”与“值域”相同吗?
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念.“值域”是所有函数值的集合（即集合中每一个元素都是这个函数的取值）,而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都满足这个条件）.也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值域”.