作业帮高数,关于等价无穷小 1.lim（x趋近0）1/(1-cosx) + 1/tanx 请问这里的tanx,(1-cosx)能用等价无穷小代替吗?如果不能,为什么,不是乘除法都可以吗?2.lim（x趋近无穷大）[e/(1+1/x)^x]^x这里的(1+1/x)^x可以用e
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 15:23:20
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高数,关于等价无穷小 1.lim（x趋近0）1/(1-cosx) + 1/tanx 请问这里的tanx,(1-cosx)能用等价无穷小代替吗?如果不能,为什么,不是乘除法都可以吗?2.lim（x趋近无穷大）[e/(1+1/x)^x]^x这里的(1+1/x)^x可以用e
高数,关于等价无穷小
1.lim（x趋近0）1/(1-cosx) + 1/tanx
请问这里的tanx,(1-cosx)能用等价无穷小代替吗?如果不能,为什么,不是乘除法都可以吗?
2.lim（x趋近无穷大）[e/(1+1/x)^x]^x
这里的(1+1/x)^x可以用e代替吗?如果不能,为什么?
高数,关于等价无穷小 1.lim（x趋近0）1/(1-cosx) + 1/tanx 请问这里的tanx,(1-cosx)能用等价无穷小代替吗?如果不能,为什么,不是乘除法都可以吗?2.lim（x趋近无穷大）[e/(1+1/x)^x]^x这里的(1+1/x)^x可以用e
两个问题实际上是同一个问题.想等价替换,必须满足条件：
是以因子形式出项的量,注意,是相对整个表达式是以因子形式出现的,
而不是单独的一部分是因子形式的.
比如第一题,1－cosx在第一部分中是因子,但相对整个表达式不是因子,
因此不能等价替换.当然,如果写成
lim 1/(1－cosx)+lim 1/tanx,1－cosx是以因子出现的,可以替换.
当然,这样做是不对的,原因是不能写成上面这种形式.
正确做法是先通分,再用洛必达法则或Taylor展式.
第二题类似,(1+1/x)^x相对整个表达式不是因子,因此不能等价替换.
正确做法是：先取对数,然后用洛必达法则或Taylor展式,建议用
Taylor展式.取对数后,
lim x*(1－xln(1+1/x))
＝lim x*(1－x【1/x－1/(2x^2)+小o(1/x^2)】)
＝lim x*(1/2x+小o(1/x))
＝1/2,
因此原极限是e^(1/2).