作业帮△ABC为等边三角形,D为AC的中点∠EDF=120°DE交线段AB于E,DF交直线BC于F． 求证DE=DF
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 10:28:03
△ABC为等边三角形,D为AC的中点∠EDF=120°DE交线段AB于E,DF交直线BC于F． 求证DE=DF
△ABC为等边三角形,D为AC的中点∠EDF=120°DE交线段AB于E,DF交直线BC于F． 求证DE=DF
△ABC为等边三角形,D为AC的中点∠EDF=120°DE交线段AB于E,DF交直线BC于F． 求证DE=DF
证明：
作DM⊥AB于点M,DN⊥BC于点N
∵∠B=60°
∴∠MDN=120°
∵∠EDF=120°
∴∠EDN=∠FDN
∵∠A=∠C=60°,DA=DC,∠AMD=∠CND=90°
∴△AMD≌△CND
∴DM=DN
∴△MDE≌△NDF
∴DE=DF
连接BD．
∵∠EDF=120°，∠B=60°，
∴BEFD四点共圆；
又∵D为AC中点，
∴在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内，其圆周角相等，
∴DE=DF；
这道题目只有在BD是∠EDF平分线的情况下，DE=DF，其他情况下都不成立
作辅助线呗，连接BD，证三角形ABD与三角形DBC全等
（1）连接BD．
∵∠EDF=120°，∠B=60°，
∴BEFD四点共圆；
又∵D为AC中点，
∴在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内，其圆周角相等，
∴DE=DF；
（2）连接BD．
由（1）知，四边形BEFD是圆内接四边形，
又∵在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角...
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（1）连接BD．
∵∠EDF=120°，∠B=60°，
∴BEFD四点共圆；
又∵D为AC中点，
∴在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴DE和DF在BEFD四点所构成的圆内，其圆周角相等，
∴DE=DF；
（2）连接BD．
由（1）知，四边形BEFD是圆内接四边形，
又∵在等边三角形ABC中，BD为∠ABC的角平分线，
∴BD也是∠EDF的角平分线，
∴∠DEB=180°-
12
×60°-
12
×120°=90°，
∴△BED是直角三角形；
同理，得△BFD是直角三角形；
在Rt△BED和Rt△BFD中，
BD=DB（公共边），DE=DF（由上题知），
∴Rt△BED≌Rt△BFD（HL），
∴BE=BF（对应边相等）；
又∵AB=BC，BE=3AE
∴CF=
14
BC；
（3）过点D作DH∥BC，交AB于点H．
∴∠CDH+∠BCA=180°，
∴∠CDH=120°；
又∵D为AC中点，
∴DH=
12
BC=DC；
∵∠HDE+∠EDC=120°，∠FDC+∠EDC=120°，
∴∠HDE=∠FDC；
又由ED=FD，
∴△DHE≌△DCF（SAS）；
∴HE=FC；
①∵BE=
13
AE，AB=BC，
∴BE=
14
BC，
∵AH=
12
BC，
∴HE=BC-AH-BE=
14
BC，
∴CF=
14
BC；
②∵BE=4AE，
∴AE=
15
BC，
如图（1），连接BD．
在Rt△BED和Rt△BFD中，
ED=FDBD=BD
，
则Rt△BED≌Rt△BFD，
∴BE=BF，
∴FC=BC-BF=AB-BE=AE=
15
BC；
故答案分别是：
14
，
15
．
收起