在三角形ABC内任意一点p向三边做垂线分别为PD,PE,PF证明(PA+PB+PC)大于等于2(PD+PE+PF)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 05:26:50

在三角形ABC内任意一点p向三边做垂线分别为PD,PE,PF证明(PA+PB+PC)大于等于2(PD+PE+PF)
在三角形ABC内任意一点p向三边做垂线分别为PD,PE,PF证明(PA+PB+PC)大于等于2(PD+PE+PF)

在三角形ABC内任意一点p向三边做垂线分别为PD,PE,PF证明(PA+PB+PC)大于等于2(PD+PE+PF)
证明：
设P是ΔABC内任意一点,P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r,记PA=x,PB=y,PC=z.则 x+y+z≥2*(p+q+r)
证明如下：
因为P,E,A,F四点共圆,PA为直径,则有:EF=PA*sinA.
在ΔPEF中,据余弦定理得:
EF^2
=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)
=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)
=(q*sinC+r*sinB)^2-(q*cosC-r*cosB)^2
≥(q*sinC+r*sinB)^2,
所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB,
即
PA=x≥q*(simC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1).
同理可得:
PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2),
PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3).
(1)+(2)+(3)得:
x+y+z
≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)
≥2*(p+q+r).
命题成立.
此题是一定理,题目和证明过程都有收藏价值,希望能掌握并灵活运用.

在三角形ABC内任意一点p向三边做垂线分别为PD,PE,PF证明(PA+PB+PC)大于等于2(PD+PE+PF) 三角形ABC内接于圆O点P是弧BC上任意一点过点P向三角形三边做垂线证明三个垂足共线已知等边三角形ABC的高是5cm,三角形内任意一点P向三边作垂线段PD、PE、PF,求PD+PE+PF的长已知等边三角形ABC的高是5cm,三角形内任意一点P向三边作垂线段PD、PE、PF,求PD+PE+PF的长已知p是等边△ABC内任意一点,过点P分别向三边做垂线,垂足分别为点D.E.F,试证明PD+PE+PF是不变的值. 正三角形ABC内任意一点P,向三边作垂线PD、PE、PF,连接PA、PB、PC求证：相间的三个三角形面积和等于原正三角形面积的一半如图,从等边三角形ABC内一点P向三边作垂线,PQ=6,PR=8,.PS=10,则三角形ABC的面积是? 从等边三角形ABC内一点P向三边作垂线段PQ＝6,PR＝8,PS＝10.求三角形ABC的面积 p是等边三角形abc内任意一点,由p向三边bc、ac、ab分别引垂线段pd、pe、pf,求证pd＋pe＋pf为定值p是等边三角形abc内任意一点,由p向三边bc、ac、ab分别引垂线段pd、pe、pf.求证pd＋pe＋pf为定值. 从等边三角形ABC内一点P向三边做垂线.PQ=6.PR=8,PS=10.则三角形面积是?等边三角形任一边的高为6+8+10＝24 如何证明？一道几何问题(勾股定理）已知三角形ABC的三边分别是BC=7,CA=8,AB=9,过三角形ABC内的一点P向三角形ABC的三边作垂线PD,PE,PF（PD在BC边上,PE在AC边上,PF在AB边上）,垂足为D,E,F,且BD+CE+AF=11,求BD+BF的长. 如图,△ABC的三边长分别是BC=17,CA=18,Ab=19,过△ABC内一点P向△ABC的三边分如图，△ABC的三边长分别是BC=17，CA=18，Ab=19，过△ABC内一点P向△ABC的三边分别做垂线段PD、PE、PF，且BD+CE+AF=27，求BD+BF的在边长为1的等边三角形内一点向三边做垂线这三条垂线的总长是多少如图,已知P是等边△ABC内任意一点,过点P分别向三边作垂线,垂足分别为D,E,F.求证：PD+PE+PF是不变的值证明几何定理在三角形外接圆上的任意一点向三角形三边作垂线,三边的垂足在同一条直线上如图,从等边三角形ABC内一点P向三边作垂线,PQ=6,PR=8,PS=10,则三角形ABC的面积是（）A190根号3B192根号3C194根号3D196根号3 如图,等边三角形ABC内一点P.过P做三边垂线PE,PF,PG,若阴影部分的面积和为5,求三角形ABC的面积.最好3月6日下午4点前解决! 从等边三角形内的一点向三边做垂线,已知这三条垂线段的长分别为1、3、5,则这个三角形的边长为（）