作业帮设二阶可维函数f(x)满足方程[0,x]∫(x+1-t)f'(t)dt=e^x+x^2-f(x),求f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 12:23:38
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设二阶可维函数f(x)满足方程[0,x]∫(x+1-t)f'(t)dt=e^x+x^2-f(x),求f(x)
设二阶可维函数f(x)满足方程[0,x]∫(x+1-t)f'(t)dt=e^x+x^2-f(x),求f(x)
设二阶可维函数f(x)满足方程[0,x]∫(x+1-t)f'(t)dt=e^x+x^2-f(x),求f(x)
∫(x+1-t)f'(t)dt 对这个数对x求导数要注意
先变换为∫(1-t)f'(t)dt +x∫f'(t)dt
x∫f'(t)dt 这个对x求导是复合函数求导
然后初始条件满足 f(0)=2
化简后2f''(x)+f'(x)=e^x+2 解这个微分方程
你的题是不是有问题哦，对t求积分结果却是只含有x的多项式？？？
先将积分拆开，分别是xf'(t)，f'(t)和-tf'(t)
然后等式两边对x求导得：
∫f'(t)dt+xf'(x)+f'(x)-xf'(x)=e^x+2x-f'(x) （积分上下限为0到x）
整理得：f(x)-1+2f'(x)=e^x+2x（这里用到f(0)=1 将x=0代入可得此结果。）
继续整理：2f'(x)+f(x)=e^x+2x+1
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先将积分拆开，分别是xf'(t)，f'(t)和-tf'(t)
然后等式两边对x求导得：
∫f'(t)dt+xf'(x)+f'(x)-xf'(x)=e^x+2x-f'(x) （积分上下限为0到x）
整理得：f(x)-1+2f'(x)=e^x+2x（这里用到f(0)=1 将x=0代入可得此结果。）
继续整理：2f'(x)+f(x)=e^x+2x+1
再下面就是用求一般导函数等式的方法了，你可以看相关书籍。
我算的答案 通解是f(x)=e^(-x/2) （求通解用到f(0)=1）； 特解是f(x)=(e^x)/3+2x-3
所以f(x)=e^(-x/2) +(e^x)/3+2x-3
没打草稿，不知道心算的对不对，步骤应该没错，要是结果不对，请自行仔细验算。
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