求数列{n/3的n次方}的前n项和Sn

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 12:37:06

求数列{n/3的n次方}的前n项和Sn
求数列{n/3的n次方}的前n项和Sn

求数列{n/3的n次方}的前n项和Sn
Sn=1/3+2/3^2+3/3^3+...+n/3^n ①
Sn/3=1/3^2+2/3^3+3/3^4+...+n/3^(n+1) ②
①-② 2Sn/3=1/3+1/3^2+1/3^3+...+1/3^n-n/3^(n+1)
=(1/3)(1-1/3^n)/(1-1/3)-n/3^(n+1)
=(1-1/3^n)/2-n/3^(n+1)
所以Sn=3(1-1/3^n)-n/2*3^n

∵S[n]=1/3^1+2/3^2+3/3^3+...+n/3^n
∴S[n]/3=1/3^2+2/3^3+3/3^4+...+(n-1)/3^n+n/3^(n+1)
∴2S[n]/3
=S[n]-S[n]/3
=1/3^1+1/3^2+1/3^3+...+1/3^n-n/3^(n+1)
=1/3[(1-1/3^n)/(1-1/3)]-n/3^(n+1)
=1/2-1/(2*3^n)-n/3^(n+1)
=1/2-(n/3+1/2)/3^n
∴S[n]=[3-(2n+3)/3^n]/4

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