作业帮线性代数,证明下面三题,用到的公式也请写出
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 17:47:57
线性代数,证明下面三题,用到的公式也请写出
线性代数,证明下面三题,用到的公式也请写出
线性代数,证明下面三题,用到的公式也请写出
(1) 证明:行列式记为Dn.
按第1列展开得:Dn=2cosθD(n-1) - D(n-2).
下用归纳法证明
当n=1时,D1=2cosθ
sin(n+1)θ/sinθ=sin2θ/sinθ=2cosθ.
所以n=1时结论成立,即D1=sin(1+1)θ/sinθ.
假设k
(1)按第一列展开
1 0 0 … 0 0
1 2cosθ 1 … 0 0
Dn=2cosθD(n-1)- … … … …
...
全部展开
(1)按第一列展开
1 0 0 … 0 0
1 2cosθ 1 … 0 0
Dn=2cosθD(n-1)- … … … …
0 0 0 …2cosθ 1
0 0 0 … 1 2cosθ
按第一行展开
Dn=2cosθD(n-1)-D(n-2)
这是一个差分方程，特征方程是λ²-2cosθλ+1=0
λ1=cosθ-sinθi，λ2=cosθ+sinθi
r=1，tanα=(2sinθ)/(2cosθ)=tanθ
那么方程的通解为Dn=C1cos(nθ)+C2sin(nθ)
因为D1=2cosθ=cosθ+cotθsinθ
D2=(2cosθ)²-1=2cos²θ-1+2cos²θ=cos2θ+2cos²θsinθ/sinθ=cos2θ+cotθsin2θ
所以C1=1，C2=cotθ
那么Dn=cos(nθ)+cotθsin(nθ)=[sinθcos(nθ)+cosθsin(nθ)]/sinθ=sin(n+1)θ/sinθ
(2)设原行列式为D，第(1)小题的行列式为Dn
cosθ 0 0 … 0 0
0 2cosθ 1 … 0 0
D=Dn- 0 1 2cosθ… 0 0
… … … …
0 0 0 …2cosθ 1
0 0 0 … 1 2cosθ
按第一行展开
D=Dn-cosθD(n-1)
=sin(n+1)θ/sinθ-cosθsin(nθ)/sinθ
=[sin(nθ)cosθ+sinθcos(nθ)-cosθsin(nθ)]/sinθ
=cos(nθ)
(3)和第(1)小题一样，先按第一列展开，再展开一次，得到递推公式，可以求出Dn
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