作业帮若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 22:04:40
![若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1](/uploads/image/z/629216-8-6.jpg?t=%E8%8B%A51%EF%BC%8Fx%EF%BC%8B1%EF%BC%8Fy%EF%BC%8B1%EF%BC%8Fz%EF%BC%9D1%EF%BC%8F%5Bx%EF%BC%8By%EF%BC%8Bz%5D%EF%BC%9D1%2C%E8%AF%B4%E6%98%8E%EF%BC%9Ax%2Cy%2Cz%E4%B8%AD%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%AD%89%E4%BA%8E1)
若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1
若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1
若1／x＋1／y＋1／z＝1／[x＋y＋z]＝1,说明：x,y,z中有一个等于1
证明：∵x+y+z=1
∵1/x+1/y+1/z=1=1/（x+y+z)
∴(x+y+z)(1/x+1/y+1/z)=1
∴(x+y+z)(yz+zx+xy)-xyz=0
∴(x+y+z)[y(x+z)+zx(x+y+z)]-xyz=0
∴(x+y+z)y(x+z)+zx(x+z)=0
∴(x+z)(xy+y^2+yz+xz)=0
∴(x+z)(x+y)(y+z)=0
∴(1-y)(1-z)(1-x)=0
∴x,y,z 中至少有一个等于1
1/(x+y+z)=1则x+y+z=1
1/x+1/y+1/z=1则xyz=xy+yz+xz
而x=1-y-z因此(1-y-z)yz=(1-y-z)(y+z)+yz
移项得 -(y+z)yz=(1-y-z)(y+z)
所以要么y+z=0 证出x=1-y-z=1
要么-yz=1-y-z ，y-yz=1-z ，y(1-z)=1-z 得...
全部展开
1/(x+y+z)=1则x+y+z=1
1/x+1/y+1/z=1则xyz=xy+yz+xz
而x=1-y-z因此(1-y-z)yz=(1-y-z)(y+z)+yz
移项得 -(y+z)yz=(1-y-z)(y+z)
所以要么y+z=0 证出x=1-y-z=1
要么-yz=1-y-z ，y-yz=1-z ，y(1-z)=1-z 得到要么y=1
要么1-z=0则z=1
综上，x,y,z中至少有一个等于一。完毕。
收起
由题知x+y+z=1
则 y+z=1-x
1/x+1/y+1/z=1
xy+xz+zy=xyz
x(y+z)+zy=xyz
(x-1)(yz+x)=0
若x-1=0 则得证
若 yz+x=0
则xy+xz-x=-x^2
y+z-1=-x
y+z-1=zy
(z-1)(y-1)=0
则得证