作业帮请问赵老师一道双曲线的参数方程题,麻烦您帮忙看下~设P为等轴双曲线x^2-y^2=1上的一点,F1和F2为两个焦点,证明：|F1P|·|F2P|=|OP|^2.下面是我的证明过程：设双曲线的参数方程为x=secθ,y=tanθ；已
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 13:24:01
请问赵老师一道双曲线的参数方程题,麻烦您帮忙看下~设P为等轴双曲线x^2-y^2=1上的一点,F1和F2为两个焦点,证明：|F1P|·|F2P|=|OP|^2.下面是我的证明过程：设双曲线的参数方程为x=secθ,y=tanθ；已
请问赵老师一道双曲线的参数方程题,麻烦您帮忙看下~
设P为等轴双曲线x^2-y^2=1上的一点,F1和F2为两个焦点,证明：
|F1P|·|F2P|=|OP|^2.
下面是我的证明过程：
设双曲线的参数方程为x=secθ,y=tanθ；已知该曲线的两个焦点分别为(-√2,0),(√2,0)；
因此有,|F1P|^2=(secθ+√2)^2+tan^2θ=[(√2)secθ+1]^2
|F2P|^2=(secθ -√2)^2+tan^2θ=[(√2)secθ-1]^2
而,|F1P|^2· |F2P|^2=[(√2)secθ+1]^2·[(√2)secθ-1]^2
=(2sec^2θ-1)^2
=(sec^2θ+tan^2θ)^2=(|OP|^2)^2
请问赵老师,在进行到这步时,角θ会不会在双曲线中有一定的限制,从而导致F1P|·|F2P|=±|OP|^2 这种情况呢?
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不用有这种情况出现,
∵ 任意的角θ,只有secθ,tanθ有意义,都有sec²θ=tan²θ-1
并且F1P|·|F2P|是正的,∴ 只能有一个结果.
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