作业帮一道高一的关于函数基本性质的题已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-入f(x),试问是否存在实数 入 ,使得G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数请给出详细解答过程这类
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 03:02:03
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一道高一的关于函数基本性质的题已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-入f(x),试问是否存在实数 入 ,使得G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数请给出详细解答过程这类
一道高一的关于函数基本性质的题
已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-入f(x),试问是否存在实数 入 ,使得G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数
请给出详细解答过程
这类型的题我没有思路
一道高一的关于函数基本性质的题已知函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-入f(x),试问是否存在实数 入 ,使得G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数请给出详细解答过程这类
先把 g(x) 的形式具体写出来
g(x) = f[f(x)] = [f(x)]^2 + 1 = (x^2 +1)^2 + 1
= x^4 + 2x^2 + 2
G(x) = g(x)-入f(x)
= x^4 + 2x^2 + 2 - λ(x^2 + 1)
= x^4 + (2-λ)x^2 + 2-λ
配方
G(x) = x^4 + 2*[(2-λ)/2] x^2 + [(2-λ)/2]^2 - [(2-λ)/2]^2 + (2-λ)
= [x^2 + (2-λ)/2]^2 + ……
这是一个偶函数.关于y轴对称.
G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数,并且在（-1,0）上为增函数
根据偶函数,则 G(x) 在 [0,1]上是减函数,在 [1 ,正无穷）上是增函数.
为了保证上述两性质,则
(2-λ)/2 = -1
(2-λ) = -2
λ = 4
这是探索性问题或说存在性问题，这类题首先是要假设存在，然后按存在做，有解不矛盾就存在，否则就不存在
g(x)=f[f(x)]=（x＾2+1）＾2+1
G(x)=g(x)-入f(x)＝（x＾2+1）＾2+1－入(x＾2+1)
=x＾4+(2-入)x＾2+2-入
设t=x＾2
则G(x)=H(t)=t＾2+(H(t)=t＾2+(2-入)t+2-入
要使G...
全部展开
这是探索性问题或说存在性问题，这类题首先是要假设存在，然后按存在做，有解不矛盾就存在，否则就不存在
g(x)=f[f(x)]=（x＾2+1）＾2+1
G(x)=g(x)-入f(x)＝（x＾2+1）＾2+1－入(x＾2+1)
=x＾4+(2-入)x＾2+2-入
设t=x＾2
则G(x)=H(t)=t＾2+(H(t)=t＾2+(2-入)t+2-入
要使G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数
则H(t)=t＾2+(2-入)t+2-入在t∈[1,正无穷)上为增函数,在(0,1)上为减函数 (说明:这一点是用复合函数的单调性"同则增,异则减")
∴对称轴t=-(2-入)/2=1
∴λ=4
所以存在λ=4使得G(x)在（ 负无穷到-1】上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数
收起
假设存在实数入,使得G(x)在（ 负无穷到-1]上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数；
因为函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-入f(x)；
所以g(x)=(x^2+1)^2+1,
G(x)=(x^2+1)^2+1-入(x^2+1)=x^4+(2-入)x^2+2-入；
导函数G'(x)=4x^3+2(2-入)x
满足...
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假设存在实数入,使得G(x)在（ 负无穷到-1]上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数；
因为函数f(x)=x^2+1,且g(x)=f[f(x)],G(x)=g(x)-入f(x)；
所以g(x)=(x^2+1)^2+1,
G(x)=(x^2+1)^2+1-入(x^2+1)=x^4+(2-入)x^2+2-入；
导函数G'(x)=4x^3+2(2-入)x
满足条件:在x=-1处值为0；当x<=-1,时G'(x)<0；当-1
从而可得：入=4；
所以当 入=4时，G(x)在（ 负无穷到-1]上为减函数，并且在（-1，0）上为增函数。
收起