作业帮函数奇偶性和单调性的综合运用（1）已知奇函数f（x）在[ a,b]上是减函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减函数?（2）已知偶函数g(x)在[ a,b]上是增函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 21:49:49
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函数奇偶性和单调性的综合运用（1）已知奇函数f（x）在[ a,b]上是减函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减函数?（2）已知偶函数g(x)在[ a,b]上是增函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减
函数奇偶性和单调性的综合运用
（1）已知奇函数f（x）在[ a,b]上是减函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减函数?
（2）已知偶函数g(x)在[ a,b]上是增函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减函数?
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函数奇偶性和单调性的综合运用（1）已知奇函数f（x）在[ a,b]上是减函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减函数?（2）已知偶函数g(x)在[ a,b]上是增函数,试问：它在[ -b,-a]上是增函数还是减
有一个规律：奇函数在对称区间上的单调性相同
偶函数在对称区间上的单调性相反
证明如下：
（1）若-b
（一）设x1,x2∈[-b,-a]，且x1＜x2
∴-x1＞-x2
∵奇函数在[a,b]上是减函数
∴f(-x1)＞f(-x2)
∵它是奇函数
∴-f(x1)＞-f(x2)
...
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（一）设x1,x2∈[-b,-a]，且x1＜x2
∴-x1＞-x2
∵奇函数在[a,b]上是减函数
∴f(-x1)＞f(-x2)
∵它是奇函数
∴-f(x1)＞-f(x2)
∴f(x1)＜f(x2)
∴它在[ -b,-a]上是减函数
（二）设x1,x2∈[-b,-a]，且x1＜x2
∴-x1＞-x2
∵奇函数在[a,b]上是增函数
∴f(-x1)＜f(-x2)
∵它是偶函数
∴f(x1)＜f(x2)
∴它在[ -b,-a]上是减函数
收起
不会
因为f（x）为减函数，所以f（a）-f（b）〉 0所以f（a）〈f（b）又因为f（x）是奇函数，即-f（-a）〉-f（-b） 即f（-a）〈f（-b）又因为-a〉-b 即f（x）在[-b，-a]上是减函数
奇函数在相反的区间，单调性相同。因此是增函数。
偶函数在相反的区间，单调性相反，因此是增函数。