作业帮已知中心在坐标原点上直线x+y-1=0与椭圆交与M、N点,且向量OM*向量ON=-7已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的离心率为√3/2,直线x+y-1=0与椭圆相交于M、N,且向量OM*向量ON=-7,求椭圆标准方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 04:44:04
已知中心在坐标原点上直线x+y-1=0与椭圆交与M、N点,且向量OM*向量ON=-7已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的离心率为√3/2,直线x+y-1=0与椭圆相交于M、N,且向量OM*向量ON=-7,求椭圆标准方程.
已知中心在坐标原点上直线x+y-1=0与椭圆交与M、N点,且向量OM*向量ON=-7
已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的离心率为√3/2,直线x+y-1=0与椭圆相交于M、N,且向量OM*向量ON=-7,求椭圆标准方程.
已知中心在坐标原点上直线x+y-1=0与椭圆交与M、N点,且向量OM*向量ON=-7已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的离心率为√3/2,直线x+y-1=0与椭圆相交于M、N,且向量OM*向量ON=-7,求椭圆标准方程.
直线x+y-1=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1相交于M(x1,y1)、N(x2,y2)
向量OM*向量ON=-7
x1x2+y1y2=-7
把y=1-x代入x^2/a^2+y^2/b^2=1得：
b^2x^2+a^2(1-x)^2=a^2b^2
(a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0
x1+x2=2a^2/(a^2+b^2),x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=(b^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)
所以,x1x2+y1y2=1-2a^2b^2/(a^2+b^2)=-7
a^2b^2/(a^2+b^2)=4
而：e=c/a=√3/2,b^2=a^2-c^2=a^2-3a^2/4=a^2/4
解方程组：
a^2b^2/(a^2+b^2)=4
b^2=a^2/4
得：
a^2=20,b^2=5
所以,椭圆标准方程：x^2/20+y^2/5=1
由于离心率为e=c/a√3/2,以及a^2=b^2+c^2，所以得出b^2=1/4a^2
设椭圆焦点在X轴上，所以其方程为x^2/a^2+4y^2/a^2=1,
设M（x1，1-x1），N（x2,1-x2），x+y-1=0与x^2/a^2+4y^2/a^2=1联立消去y，整理得5x^2-8x+4-a^2=0
又向量OM*向量ON=-7，即x1.x2+(1-x1).(1-x2...
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由于离心率为e=c/a√3/2,以及a^2=b^2+c^2，所以得出b^2=1/4a^2
设椭圆焦点在X轴上，所以其方程为x^2/a^2+4y^2/a^2=1,
设M（x1，1-x1），N（x2,1-x2），x+y-1=0与x^2/a^2+4y^2/a^2=1联立消去y，整理得5x^2-8x+4-a^2=0
又向量OM*向量ON=-7，即x1.x2+(1-x1).(1-x2)=-7整理得2x1.x2-（x1+x2）=-8
由一元二次方程跟与系数的关系有2*（4-a^2）/5+8/5=-8
解得a^2=28,所以椭圆标准方程是x^2/28+y^2/7=1
注：方法是这样，不知道我计算错了没有，自己再去算算吧）
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