求证：四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 06:06:57

求证：四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数
求证：四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数

求证：四个连续自然数的积与1之和必定是一个完全平方数
以前俺回答过,这次厚着脸皮给copy过来了,当然还是俺自己的版权^_^
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)*[(n+1)(n+3-1)]+1
=n(n+3)[n(n+3)+(n+3)-n-1]+1
=n(n+3)[n(n+3)+2]+1
=n(n+3)^2+2*n(n+3)+1
=[n(n+3)+1]^2
以后碰到类似的问题怎么办?
我的方法是,找规律,试图先知道答案,之后再证明!
比如,n=1,1*2*3*4+1=5^2=(4+1)^2
n=2,2*3*4*5+1=11^2=(10+1)^2
n=3,3*4*5*6+1=19^2=(18+1)^2
为什么要分解为+1,因为从式子里可以看到,唯一的常数项就是1,所以式子最后可以总结为(x+1)^2的形势,
那么现在就看,4,10,18和n有什么关系,观察发现,都是n和n+3的乘积.
于是就知道最后式子是[n(n+3)+1]^2
按照答案去证明就容易很多!

设四个连续自然数分别为a，a+1,a+2,a+3.
它们的积与1的和为
a(a+1)(a+2)+(a+3)+1
=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
=(a~2+3a)(a~2+3a+2)+1
=(a~2+3a)~2+2*(a~2+3a)+1
=(a~2+3a+1)~2
证毕

n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2

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