作业帮线性代数：若n阶矩阵A满足方程A^2+2A+3E=0,则（A-2E）^-1=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 15:55:15
线性代数：若n阶矩阵A满足方程A^2+2A+3E=0,则（A-2E）^-1=?
线性代数：若n阶矩阵A满足方程A^2+2A+3E=0,则（A-2E）^-1=?
线性代数：若n阶矩阵A满足方程A^2+2A+3E=0,则（A-2E）^-1=?
A^2 + 2A + 3E=（A - 2E )( A + 4E) + 11E = 0
即 （A - 2E )( A + 4E) = -11E
所以 （A-2E）^（-1）= -1/11 ( A + 4E)
另外再说句,做这种题的技巧,就是配凑法,配成 要求因式 × 另一因式 = x E （该式化简后是原方程）,然后 逆矩阵就看出来了
假定(A-2E)(mA+nE)=E，展开得到
mA^2 + (n-2m)A +(2n-1)E=0
就是A^2 +(n/m-2)A + (2n/m-1/m)=0
令n/m-2=2
2n/m -1/m =3得到
m =1/5,n=4/5
所以(A-2E)(A+4E)/5 = E, A-2E的逆矩阵是(A+4E)/5
证明: 因为 A^3-2A^2+3A-E=0 所以 A(A^2-2A+3E) = E 所以 A 可逆 且 A^-1 = A^2-2A+3E
顶三楼zqdiadra
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