作业帮是否存在常数c,使得不等式x/(2x+y) +y/(x+2y)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 05:25:41
是否存在常数c,使得不等式x/(2x+y) +y/(x+2y)
是否存在常数c,使得不等式x/(2x+y) +y/(x+2y)<=c<=x/(x+2y) +y/(2x+y) 对任意正数x,y恒成立?
详细过程啊
谢谢
是否存在常数c,使得不等式x/(2x+y) +y/(x+2y)
不存在常数C,使得不等式x/(2x+y)+y/(x+2y)<=C<=x/(2y+x)+y/(y+2x)对任意正数x,y恒成立
证：x>0,y>0
0≤(x-y)^2,x=y,(x-y)^2=0
2xy≤x^2+y^2
上不等式两边加(x^2+y^2+2xy）,得
x^2+y^2+4xy≤2x^2+2y^2+2xy
x*(x+2y)+y*(2x+y)≤x*(2x+y)+y*(x+2y)
上不等式两边除(2x+y）*（x+2y）,得
x/(2x+y)+y/(x+2y)≤x/(2y+x)+y/(y+2x)
可知只有x=y时,才存在C=2/3,使得不等式x/(2x+y)+y/(x+2y)≤C≤x/(2y+x)+y/(y+2x)成立
故不存在常数C,使得不等式x/(2x+y)+y/(x+2y)<=C<=x/(2y+x)+y/(y+2x)对任意正数x,y恒成立.
[x/(2x+y) +y/(x+2y)]-[x/(x+2y) +y/(2x+y)]
=[x(x+2y)+y(2x+y)-x(2x+y)-y(x+2y)]/[(x+2y)(2x+y)]
=[x^2+2xy+2xy+y^2-2x^2-xy-xy-2y^2]/[(x+2y)(2x+y)]
=(2xy-x^2-y^2)/[(x+2y)(2x+y)]
=-(x-y)^2/[(...
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[x/(2x+y) +y/(x+2y)]-[x/(x+2y) +y/(2x+y)]
=[x(x+2y)+y(2x+y)-x(2x+y)-y(x+2y)]/[(x+2y)(2x+y)]
=[x^2+2xy+2xy+y^2-2x^2-xy-xy-2y^2]/[(x+2y)(2x+y)]
=(2xy-x^2-y^2)/[(x+2y)(2x+y)]
=-(x-y)^2/[(x+2y)(2x+y)]≤0{对任意正数x,y}
其中,x=y时,等号成立
x=y时,x/(2x+y) +y/(x+2y)=x/3x+y/3y=1/3+1/3=2/3
所以,c=2/3时,
不等式x/(2x+y) +y/(x+2y)<=c<=x/(x+2y) +y/(2x+y) 对任意正数x,y恒成立
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